韋德伯恩定理

韋德伯恩定理,是Wedderburn提出的一個數學定理。

基本介紹

  • 中文名:韋德伯恩定理
  • 外文名:Wedderburn Theorem
  • 表達式:有限體必為域
  • 提出者:Wedderburn
  • 適用領域:代數
  • 套用學科:數學-代數
除環(division ring),又譯反稱域(skew field)、體,是如下定義的一個環:
至少有一個非零元素,這些非零元素稱為單位(Unit)
非零元素都存在逆元素(左逆元素與右逆元素)
它和域(field)的分別在於除環不必要符合交換律。所有域都是除環。不符合交換律的除環(斜體),例子有四元數。
Wedderburn定理:有限體必為域。
證明:
設K為有限體,
則Z是有限域。令|z|=素數q,則K是q元域Z上的有限維向量空間。設維數是n,則
.
對每個元素
,令N(a)={x∈K | ax=xa},這顯然是K的子體並且包含Z. 因此N(a)也是Z上的有限維向量空間,從而
,n(a)是與a有關的正整數。由於K*=K-{0}為
階乘法群,而N(a)*=N(a)-{0}是K*的
階子群,因此
|
. 從而n(a) | n.
將乘法群K*的元素分成共軛類。與a∈K*共軛的元素個數為[K*:N(a)*]=
,從而有等式(*)
等式(*)的右邊的q-1對應Z*中q-1個元素,這q-1個元素自成共軛類。其餘元素a的共軛類中元素均多於1個。即對應N(a)≠n. 下面證明n>1時(*)不成立。使用分圓多項式
由於
從而由Mobius變換(取離散對數化為求和)知
,其中
是Mobius數論函式。於是
,其中f,g均為Z[x]中首1多項式。由於
∈C[x],故在C[x]中g(x)|f(x),可知在Z[x]中g(x)|f(x).
是Z[x]中的首1多項式。
對於n的每個正因子d,如果d|n, d<n,則
的每個根均是
的根,但不是
的根,從而都是多項式
的根。因此
整除
。於是
整除
,結合(*)式,得到
整除(q-1)。
但是由定義,
. 當n≥2時,
. 於是
>
≥q-1,與
整除(p-1)矛盾。故必有n=1.
於是|K|=|Z|,即K=Z,K為域。

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