群代數半單性定理

群代數半單性定理(semisimplicity theorem ofgroup algebra)指的是群代數的雅各布森半單性判別定理。設G是群，K是域且K不是它的素域上代數，若chK=0或chK=p>0時，G不含p階元，則K[G]是雅各布森半單(簡稱J半單)。

雅各布森半單亦稱J半單。一類重要的環。若環R的雅各布森根J(R)=0，則R稱為半本原環，又稱雅各布森半單環。

基本介紹

• 中文名：群代數半單性定理
• 外文名：semisimplicity theorem ofgroup algebra
• 領域：代數
• 對象：群代數
• 提出者：雅各布森
• 相關人物：馬施克、里卡特

基本介紹

群代數的雅各布森半單性判別定理。設G是群，K是域且K不是它的素域上代數，若chK=0或chK=p>0時，G不含p階元，則K[G]是雅各布森半單(簡稱J半單)。自馬施克(Maschke，H.)證明了對有限群的半單性後，對無限群的情況歷經25年之久才得到完全解決。於1950年裡卡特(Rickart，C.)證明複數域上群代數C[G]是J半單的，9年後，阿密蘇(Amitsur，S.A.)擴展到特徵為零的任意域。帕斯曼(Passman，D.S.)於1962年證明了域的特徵為p的情況。此定理是至今關於任意域上群代數最好的半單性判別定理。

群代數

群代數是環論與群論的交叉學科。由群與環兩個代數繫結合而成的新代數系，也是環的基礎模型之一。設R是有1結合環，G為群，令R[G]是一切形式和：

的集合。規定：

其中：

則R[G]對上述加法和乘法構成有單位元的結合環，稱為環R上群G的群環，有時也用RG或R(G)表示.特別地，R=F為域時，F[G]稱為F上群G的群代數.當R為交換環時，R[G]也稱群代數。若S是半群，則R[S]對上面加法和乘法也構成環，稱為R上半群S的半群環；R為域時，R[S]也稱半群代數。

群代數產生於群的表示論。群G的一個表示決定了一個F[G]模;反之，一個F[G]模刻畫了群的一個表示.1898年，著名的馬施克定理：若域F的特徵不能整除有限群G的階，則G在F上的每一個表示是完全可約的.另一方面群代數F[G]半單的充要條件是F的特徵不能整除G的階.這就將群表示的可約性轉化為群代數F[G]的半單性，等價表示又與群代數模的同構密切相關.無限群的群代數的半單性的研究是從里卡特(Rickart，C.)於1950年證明複數域上群代數是半單開始的.約7年後，阿密蘇(Amitsur，S.A.)、卡普蘭斯基(Kaplansky，I.)、帕斯曼(Passman，D.S.)等才逐漸擴展到其他域，然而群代數的蓬勃發展是從20世紀60年代中期開始的.

早在1929年，與群代數密切相關的交叉積，在諾特(Noether，E.)的講義中已經出現.1932年，哈塞(Hasse，H.)的“代數數域上循環代數”給出交叉積的重要類型，隨後，布饒爾(Brauer，R.(D.))將域F上中心單代數按相似分類，每一個等價類都有一個交叉積為代表元，從而建立了布饒爾群理論。交叉積又是特殊的分次代數，利用分次代數來刻畫交叉積推動了群表示論的發展，導出了群的投射表示，群到向量空間的半線性變換的正規表示，以及由群的同調所決定的投射交叉表示。群代數以及相關的碎積與霍普夫代數密切相關，同時群代數又是對稱巴拿赫代數，在泛函分析中有重要套用。

半單

半單群

一類特殊的群。沒有異於1的交換正規子群的有限群.設G是有限群，若G是擬單群的中心積或G=1，則稱G為半單群。例如，有限非交換單群的直積為半單群。有限群G具有一個惟一的極大正規半單子群，稱為G的層，記為L(G)。

半單類

一般根論中與根類相對照的重要環類.給定根性質R或根類R，由所有R半單環組成的環類稱為根性質R的半單類.它由根性質或根類惟一確定。結合環類的子類K成為半單類的充分必要條件是：K中環的理想仍在環類K中;若環A的每個非零理想都有一個非零同態像是K中的環，則環A也是K中的環.給定半單類K，由所有沒有非零同態像屬於K的那些環組成的環類是一個根類，因此根性質也可由半單類惟一確定。

半單變換

一類特殊的線性變換。設V是域P上的n維線性空間，σ∈Hom_P(V，V)，若σ恰有n個線性無關的特徵向量，則稱σ為半單變換。半單變換關於基的矩陣是半單矩陣。線性變換σ為半單的充分必要條件是其最小多項式無重根。

半單阿廷環

一種特殊的阿廷環。即冪零根為零的阿廷環。環R是半單阿廷環若且唯若左(右)正則模是半單模。常簡稱半單環.著名的韋德伯恩-阿廷定理給出：R是半單環的充分必要條件是R為有限個單阿廷環的直和，若不計順序則是惟一的。並且，單阿廷環同構於一個除環D上有限維向量空間的線性變換環。換言之，單阿廷環同構於某除環D上全矩陣環D_n，其中n是單阿廷環表為極小左理想的直和的長度。這一定理是對有限維半單代數結構定理的完美推廣。

雅各布森半單

雅各布森半單亦稱J半單。一類重要的環。若環R的雅各布森根J(R)=0，則R稱為半本原環，又稱雅各布森半單環。環R是半本原的若且唯若對R中任意元素a≠0，存在一個既約表示ρ，使得ρ(a)≠0，若且唯若R有一個忠實完全可約表示。對任意環R，R/J(R)都是半本原環。一個環R是半本原的充分必要條件是R為本原環的亞直和。

相關人物介紹

雅各布森

雅各布森是美國數學家。生於波蘭華沙，1917年隨家移居美國。1930年獲阿拉巴馬大學學士學位，1934年獲普林斯頓大學博士學位。畢業後曾任教於布林莫爾學院、芝加哥大學、加利福尼亞大學、北卡羅利納大學、約翰斯·霍普金斯大學，1947年起，任教於耶魯大學。1954年，被選為美國全國科學院院士。1971—1973年，任美國數學會主席.1972—1974年，任國際數學聯盟副主席。

雅各布森的貢獻主要在代數領域的結合環、李代數和若爾當代數。在結合環理論方面，1945年，他發展了環的一般結構理論，並給出了該理論的一些重要套用，其中包括給出了環的根及相應半單性概念的一般定義，用本原環對半單環做了部分分析、本原環的結構理論，並把這一理論針對代數的特殊情況做了專門性的闡述發展等。他對李代數的結構理論也有重要貢獻，特別是特徵為0的任意域上單李代數的分類，並開創了素特徵李代數的結構理論。他還證明了李代數分類問題等價於有限維對合單結合代數的分類。1937—1938年，他引入了p李代數的概念，並發展了不可分域擴張的伽羅瓦理論。1950年以後，他主要研究若爾當代數理論，在表示理論方面有重要成果，並發展了類似於阿廷結合環結構理論的結構理論。著有《環論》(1943)、《環的結構》(1956)、《李代數》(1962)、《若爾當代數的結構與表示》(1968)、《例外李代數》(1971)等多種專著。

馬施克及群代數馬施克定理

群代數馬施克定理是域上有限群代數半單性的判別定理。域F上有限群G的群代數F[G]為半單的充分必要條件是F的特徵數不能整除|G|。上述馬施克定理在群表示論中有重要價值。例如，群G的一個F表示是完全可約的充分必要條件是F的特徵數不能整除|G|。馬施克定理已由朱元森於1987年推廣為下面更普遍的定理：設R是有1結合環，G是局部有限群，若R的特徵數的因數不是G的子群的階，則JR[G]=(JR)[G]，即法拉哈特等式成立。

里卡特

美國數學家。生於堪薩斯州。1937年獲堪薩斯大學文學士學位，1938年獲碩士學位，1941年獲密執安大學數學博士學位。1959年獲耶魯大學文學碩士學位。1941—1943年為哈佛大學佩爾斯(Peirce)學院數學助教，1943—1959年從講師升為副教授；1959年以後為耶魯大學數學教授，1959—1965年任系主任。研究方向為泛函分析、代數分支理論、函式代數。著作有《一般巴拿赫代數理論》(GeneralTheory of Banach Algebras，1960)。