基本介紹
- 中文名：導子代數
- 外文名：derivation algebra
- 所屬學科：代數幾何
- 性質：李代數
- 對象：非結合代數
- 釋義：由給定的非結合代數派生的一個李代數
定義,性質,概念,結合代數,非結合代數,李代數,產生方式——線性變換,
定義
δ(xy)=δ(x)y+xδ(y)，
對所有x，y∈A，則稱δ是非結合代數A上的一個導子。
A上的所有導子的集合Δ(A)是A上所有線性變換做成的向量空間的一個子空間。對任意δ,δ′∈Δ(A)，其交換子[δ,δ′]仍然是A的一個導子，所以，線性空間Δ(A)在交換子規定的乘法之下做成F上的一個李代數，這個代數就稱為是A的導子代數。
性質
若半單李代數的導子代數與內導子代數相等。
概念
導子代數(derivation algebra)是指由給定的非結合代數派生的一個李代數。給定的非結合代數的一些線性變換做成的代數。
結合代數
類似於環、域，而更接近於環的一個代數系。設A是一個結合環，若A又是域F上向量空間，且對任意元素a，b∈A，λ∈F，適合λ(ab)=(λa)b=a(λb)，則稱A是F上結合代數，簡稱F代數。稱F上向量空間A的維數為代數A的維數，記為dimA。一般地，若結合環A又是左R模，其中R是有單位元1的交換環，且對任意a∈A，λ∈R，適合
1·a=a，λ(ab)=(λa)b=a(λb)，
則稱A是R上代數。通常假定一個R代數有單位元。
結合代數研究的中心問題是刻畫各類代數的結構，它是從19世紀50年代哈密頓(Hamilton，W.R.)引入實域上四元數(1843年)、格拉斯曼(Grassmann，H.G.)引入向量乘法以及凱萊(Cayley，A.)等人討論矩陣代數開始的.到20世紀初，韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)開創了有限維代數發展的新階段，他的半單代數結構理論對代數的發展起了推動作用，使有限維代數的研究基本上歸結為冪零代數與可除代數的研究，進而得出半單代數較完整的表示理論。阿爾貝特(Albert，A.A.)的《代數結構》一書(1939年)是對經典代數的很好的總結。非半單代數結構的研究則較為複雜，因此劃分成一些自然的代數類並對它們進行描述就成了占主要地位的工作。克德(Ko¨the，G.)、中山正(Nakayama，T.)、淺野啟三(Asano，K.)等人刻畫了主理想代數、弗羅貝尼烏斯代數以及它們的推廣。近年來，開始用模論的方法研究代數結構，產生了代數表示論。
由於R上代數A與環的概念僅多一個R×A到A的乘法運算，因此，子代數、單側理想、理想、商代數、冪零和冪零理想、同構及同態等概念僅比環中相應概念多一個與R中元相乘封閉的性質，不再重複它們的定義。
非結合代數
抽象代數學的一個重要分支，與結合環和結合代數理論在概念與術語的使用上、問題的背景與提出的方式上、討論中的思路與解決問題的方法上都有密切聯繫。若集合R上有兩個二元運算：加法“+”和乘法“·”，而且：
1.(R，+)是加法群;
2.R的乘法“·”對其加法“+”滿足分配律，即對任意x，y，z∈R，恆有：
(x+y)·z=x·z+y·z，
z·(x+y)=z·x+z·y;
則稱(R，+，·)是一個非結合環.進而，
3.若(R，+)是域F上的線性空間，且對任意α∈F，任意x，y∈R有
α(x·y)=(αx)·y=x·(αy);
則稱(R，+，·)是域F上的一個非結合代數.也稱非結合環、非結合代數為分配環和分配代數.設(A，+，·)是一個非結合代數，若它對其乘法滿足結合律或交錯律或若爾當律或雅可比恆等式等，就分別稱其為結合代數、交錯代數、非交換若爾當代數、李代數等.因為，結合環必為非結合環，每個結合代數都是非結合代數，所以，字頭“非”意味著乘法滿足結合律與不滿足結合律的環與代數的總和.由於結合環與結合代數的研究工作起步早、成果多，已自成系統，所以在非結合代數與非結合環理論中通常將那些“結合的”系統排除在外.同樣道理，李代數已形成獨立局面，而不再被包含在一般非結合代數中。
一些重要的非結合代數是受到量子力學、統計物理等刺激發展起來的，但是在其代數結構的理論探討上，可以說，基本上是沿著結合代數結構理論的路子向前發展.如引入理想、同態、商代數、根、直和、鏈條件、半單等概念，分別討論各種類型非結合代數的韋德伯恩定理存在的可能性等.
李代數
一類重要的非結合代數。記L為域F上的線性空間，若L中除了加法和純量積，還有第三種代數運算：L×L→L，記為[x，y]，x，y∈L，它適合條件：
1.反對稱性 [x，x]=0， x∈L.
2.雙線性性 [λx+μy，z]=λ[x，z]+μ[y，z]，λ，μ∈F，x，y∈L.
3.Jacobi恆等式 [[x，y]，z]+[[z，x]，y]+[[y，z]，x]=0，x，y，z∈L.
則[x，y]稱為x和y的換位運算，亦稱“方括弧運算”.這時L稱為域F上李代數，簡稱李代數。當L的維數有限時，稱為有限維李代數；當L的維數無限時，稱為無限維李代數。例如，若L為域F上的結合代數，滿足結合律的乘法，記為ab，a，b∈L，則運算[a，b]=ab-ba， a，b∈L為換位運算。在此運算下，L為李代數.特別地，若L為由所有n×n矩陣構成的結合代數，則在矩陣運算下定義：
[A，B]=AB-BA
便構成一個n維李代數。
產生方式——線性變換
線性代數的重要概念之一。設σ是數域P上的線性空間V的一個變換。若對於V中的任意向量α，β與P中的任意數k，有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)，σ(kα)=kσ(α)，則稱σ是V的一個線性變換。設σ是線性空間V的一個變換，若對於V中任意向量α，有σ(α)=α，則σ是V的線性變換，稱為恆等變換，亦稱單位變換，記為I。若V的變換σ對於V中的任意向量α，有σ(α)=0，則σ是V的線性變換，稱為零變換，記為0.線性變換是歐氏幾何中的變換、解析幾何中的某些坐標變換、數學分析中的某些變數代換以及其他數學分支中某些類似的變換的抽象、概括與推廣。數域上線性空間的線性變換可以推廣為同一個域上的兩個不同線性空間的線性映射。線性變換不僅是線性代數的主要研究對象之一，也是數學中的一個重要的概念。近代數學中的許多分支的研究對象，如泛函分析中的線性運算元。同調代數中的模同態等都與線性變換有密切的聯繫。
