鏈條件

鏈條件(chain condition)是可數鏈條件概念的推廣。設κ為任意無窮基數，〈P，≤〉為一個偏序集，若P中每條反鏈的基數均小於κ，則稱〈P，≤〉具有κ鏈條件，記為κ-CC ，因此，可數鏈條件即為ω₁-CC。

基本介紹

• 中文名：鏈條件
• 外文名：chain condition
• 領域：數學
• 學科：序論
• 性質：可數鏈條件的推廣
• 對象：無窮基數

概念

鏈條件(chain condition)是可數鏈條件概念的推廣。設κ為任意無窮基數，〈P，≤〉為一個偏序集，若P中每條反鏈的基數均小於κ，則稱〈P，≤〉具有κ鏈條件，記為κ-CC ，因此，可數鏈條件即為ω₁-CC。若偏序集〈P，≤〉具有κ鏈條件，也稱〈P，≤〉是κ飽和的(κ-saturated)。通常用sat(P)表示κ·ω， 這裡的κ是使P為κ飽和的最小的基數κ. sat(P)一定為正則基數。

可數鏈條件

簡稱CCC。現代數學的基本概念之一。設〈p，≤〉為一個偏序集，A⊆P為P的一個子集，若對任何p，q∈A，不存在r∈P，使r≤p且r≤q，則稱A為P中的一條反鏈。若P中每一反鏈均可數，則稱〈P，≤〉具有可數鏈條件，在拓撲學與布爾代數中也有可數鏈條件的概念，它們可以看成偏序集上的可數鏈條件概念的變體。設B為一個布爾代數，若〈B\{0}，≤〉具有可數鏈條件，則稱B具有可數鏈條件，這裡“≤”定義為：a≤b，若且唯若a+b=b。設〈X，T〉為一個拓撲空間，若〈T\{∅}，⊆〉滿足可數鏈條件，則稱X具有可數鏈條件，即X中每個兩兩不相交的非空開集簇可數。

偏序集

設A是一個集合，若在A記憶體在一個關係“≤”，它滿足：

①反身性 對於任何a∈A，有a≤a；

②反對稱性 對於a，b∈A，若a≤b，且b≤a，則a=b；

③傳遞性 對於a，b，c∈A，若a≤b，b≤c，則a≤c。

則稱“≤”是集合A的一個偏序關係，也稱作半有序關係。

如果a≤b，就叫做a不在b的後面，或b不在a的前面。

在一個集合A內，如果建立了一個偏序關係≤，就稱集合A對於關係≤成為一個偏序集，也稱作半有序集。記作(A，≤)。

由上述定義可知，偏序集就是一個集合A加上一個偏序關係≤。

例如，實數集R對於關係“≤”構成偏序集(R，≤)。

再如，設I是一個全集，冪集P(I)對於關係“⊂”是一個偏序關係，(P(I)，⊂)是一個偏序集。值得注意的是，當A，B⊂P(I)，且A∩B=Φ時，A⊂B和B⊂A都不成立，但這不要緊，因為定義中不要求對於A中的任意兩個元素a和b，a≤b或b≤a必有一個成立，這就是說，它只要求這種順序關係≤在部分元素中成立。

偏序關係

常見的序關係之一。若二元關係R滿足可傳性、反自反性，則稱R為一個嚴格偏序關係，通常記為<，或>。若<為集合A上的嚴格偏序關係，則稱〈A，<〉為一個嚴格偏序結構，稱A為嚴格偏序集。若二元關係R滿足可傳性、自反性，則稱R為一個弱偏序關係，通常記為≤或≼。若≤為集合A上的弱偏序關係，則稱〈A，≤〉為一個弱偏序結構，稱A為弱偏序集。若R為集合A上的嚴格偏序關係，則R′=R∪{〈x，x〉|x∈A}為A上的弱偏序關係；反之，若R為集合A上的弱偏序關係，則R′=R\{〈x，x〉|x∈A}為A上的嚴格偏序關係。嚴格偏序關係與弱偏序關係均可簡稱偏序關係，或偏序。

設〈A，R〉為一個偏序結構，C⊆A為A的非空子集，若a∈C∧ᗄx∈C(aR-x)，則稱a為C的R極大元；若a∈C∧ᗄx∈C(xR-a)，則稱a為C的R極小元；若a∈C∧ᗄx∈C(xRa∨x=a)，則稱a為C的R最大元；若a∈C∧ᗄx∈C(aRx∨x=a)，則稱a為C的R最小元；若a∈A∧ᗄx∈C(xRa∨x=a)，則稱a為C的上界；若a∈A∧ᗄx∈C(aRx∨x=a)，則稱a為C的下界;若a為C的上界，且對任何C的上界b，aRb∨a=b，則a稱為C的上確界；若a為C的下界，且對任何C的下界b，bRa∨b=a，則a稱為C的下確界。若A的任意兩個元素a，b組成的集合{a，b}都有上確界和下確界，則稱〈A，R〉為格。

鏈

鏈是一種組合構形。指超圖上的一種特殊的節點和邊的序列。超圖H=(X，E)的一個節點和邊的序列(x₁，E₁，x₂，E₂，…，x_q，E_q，x_q+1)稱為一個鏈，若滿足下列三個條件：

1.x₁，x₂，…，x_q是H的互不相同的節點。

2.E₁，E₂，…，E_q是H的互不相同的邊。

3.對於任意k，1≤k≤q，邊E_k包含節點x_k和x_k+1.其中，q稱為鏈的長度。

若q>1且x_q+1=x₁，則稱這個鏈為一個圈.一個超圖H稱為是平衡的，如果其上每一個奇圈(a₁，E₁，a₂，E₂，…，a_2p+1，E_2p+1，a₁)都有一個邊E_i(1≤i≤2p+1)包含這個圈上至少3個節點。H稱為是全平衡的，若H的每一個長度不小於3的圈上都有一個包含這個圈上3個節點的邊。

正則基數

一種特殊基數。如果α為極限序數，且cf(α)=α，則稱α為正則的。正則的基數稱為正則基數。不正則的無窮基數稱為奇異基數。由於正則的序數一定是基數，故人們對正則的序數、正則序數、正則的基數和正則基數這幾個概念不加區別地使用。通常也有人將ω稱為正則基數，將_α+1稱為正則序數。正則性是基數的重要概念之一，它由德國數學家豪斯多夫(Hausdorff，F.)於1908年引入。關於正則基數的性質曾引申出許多重要的集合論命題，其中最重要的問題是：是否能在ZF系統中證明存在大於ω的正則基數?一方面，由選擇公理知，N₁，N₂，…，N_α+1都是大於ω的正則基數。另一方面，以色列集合論學家吉帖克(Gitik，M.)於1979年在假定存在某種大基數真類的情況下，證明了不存在大於ω的正則基數，也是和ZF系統相容的。