蘇斯林問題(Suslin problem)是有關在一定條件下一個集合與實數連續統是否同構的著名問題。若集合P是稠密的、無界的、完備的全序集，且有可數子集在P中處處稠密，那么P必與實數集同構，也是一個連續統。如果在關於P的這些條件中將條件“有可數子集在P中處處稠密”換為“含於P中的不交開區間至多可數”，其餘不變，問P還與實數集同構嗎?這就是蘇斯林問題：換上的條件定名為可數鏈條件。蘇斯林問題可直接表述為：如果P是完備的、稠密的全序集，並滿足可數鏈條件，P與實數集同構嗎?雖然實數集本身是完備的、稠密的、滿足可數鏈條件的全序集，但蘇斯林問題在ZFC系統中是不可判定的。蘇斯林問題是蘇斯林(М.Я.Суслин)於1920年提出的，假定對這個問題的回答是肯定的命題稱為蘇斯林假設。
基本介紹
- 中文名：蘇斯林問題
- 外文名：Suslin problem
- 所屬學科：數學
- 提出者：蘇斯林(М.Я.Суслин)
- 提出時間：1920年
基本介紹,相關定理,
基本介紹
Suslin問題(或稱Suslin假設)是由M.Suslin在1920年提出的一個有關如何刻畫實數有序集(R，<)性質的問題，直到70年代初才被T.Jech, S.Tennenbaum, R.Solovay等人的工作合起來證明了它是獨立於ZFC的，因而不可能在樸素集合論中解決，關於這一獨立性結果，在流行的公理集合論教材如Jech的《Set Theory》 (AcadermicPress，1978)及 K.Kunen的《Set Theory》(North-Halland Publ.Co.，1980)中都有詳細證明。
Suslin問題 設(S，<)為一適合下列三條件的全序集:
(1)(S，<)為稠密且無界；
(2)(S， <)為完備集；
(3)(S, < <)適合可數鏈條件，
問: (S，<)是否必同構於(R, <)?
(Suslin假設是說:此時(S，<)必同構於(R, <))。
可數鏈條件是與全序集相關的一個概念。若稠密全序集P中每一個不相交的開區間的集合最多可數，則稱P滿足可數鏈條件，簡記為C.C.C，每個可分全序集滿足可數鏈條件。設〈p，≤〉為一個偏序集，A⊆P為P的一個子集，若對任何p，q∈A，不存在r∈P，使r≤p且r≤q，則稱A為P中的一條反鏈。若P中每一反鏈均可數，則稱〈P，≤〉具有可數鏈條件，在拓撲學與布爾代數中也有可數鏈條件的概念，它們可以看成偏序集上的可數鏈條件概念的變體。設B為一個布爾代數，若〈B\{0}，≤〉具有可數鏈條件，則稱B具有可數鏈條件，這裡“≤”定義為：a≤b，若且唯若a+b=b。設〈X，T〉為一個拓撲空間，若〈T\{∅}，⊆〉滿足可數鏈條件，則稱X具有可數鏈條件，即X中每個兩兩不相交的非空開集簇可數。
相關定理
對於此問題，首先可以在ZFC中證明下列定理。
定理1 Suslin假設成立的充分必要條件是：不存在Suslin樹。
關於Susin樹的存在性，則有下列兩個相對照的主要結果。
定理2 (Jech, Tennenbaum)存在ZFC的模型M1，在M1中存在Suslin樹。(因而Suslin假設在M1中不成立)。
定理3(Solovay-Tennenbaum)存在ZFC的模型M2,在M2中不存在Suslin樹.(因而Susin假設在M2中成立)。
定理2及3合起來，就說明了Suslin假設及Suslin問題對於ZFC的獨立性。
