降鏈

降鏈條件

數學上，偏序集P適合升鏈條件，若任意P的元素的升鏈a₁≤a₂≤...最終固定，就是說存在正整數n，使得對所有m>n，有a_m=a_n。類似地，P適合降鏈條件，若任意P的元素的降鏈a₁≥a₂≥...最終固定（就是說不存在無窮降鏈）。

P的升鏈條件等價於最大條件：所有P的非空子集都有極大元。類似地，降鏈條件等價於最小條件：所有P的非空子集都有極小元。

所有有限偏序集都適合升鏈和降鏈條件。適合降鏈條件的全序集稱為良序集。

給定帶有偏序≤的一個集合S，無窮降鏈是鏈V，就是說在其上≤定義了全序的S的子集，使得V沒有最小元素，也就是元素m它使得對於在V中所有元素n有著m≤n。

作為例子，在整數的集合中，鏈−1, −2, −3, ...是無窮降鏈，但是在自然數上沒有無窮降鏈，所有自然數的鏈都有一個極小元素。

如果偏序集合不包含任何無窮降鏈，則稱它為良基的。沒有無窮降鏈的全序集合是良序的。

在數學中，類X上的一個二元關係R被稱為是良基的，若且唯若所有X的非空子集都有一個R-極小元；就是說，對X的每一個非空子集S，存在一個S中的元素m使得對於所有S中的s，二元組 (s,m) 都不在R中。

等價的說，假定某種選擇公理，一個二元關係稱為是良基的，若且唯若它不包含可數的無窮降鏈，也就是說不存在X的元素的無窮序列x₀,x₁,x₂, ...使得對所有的自然數n有著x_n₊₁Rx_n。

在序理論中，一個偏序關係稱為是良基的，若且唯若它對應的嚴格偏序是良基的。如果這個序還是全序，那么此時稱這個序為良序。

在集合論中，一個集合x稱為是一個良基集合，如果集成員關係在x的傳遞閉包上是良基的。策梅洛-弗蘭克爾集合論中的正則公理，就是斷言所有的集合都是良基的。

在數學中，集合S上的良序關係（或良序）需要滿足：

1.是在S上的全序關係

2.S的所有非空子集在這個次序下都存在最小元素。

等價的說，良序是良基的線序。集合S和這個良序關係一起就叫做良序集合。

粗略的說，良序集合的排序方式，使得我們可以逐次考慮一個它的元素，而在還沒有檢視完所有的元素的任何時候，總是有一個唯一的下一個元素可考慮。

如果 (X, <) 是良基關係並且x是X中的一個元素，那么以x為始的降鏈都是有限長的，但是這不意味著它們的長度必定是有界的。請考慮下面的例子：

令X為全體正整數和一個新元素 ω 的並，ω 比任何整數都要大。這樣X是一個良基集合，但是存在以 ω 為始的降鏈其長度可以任意（有限的）大：對任意的 n，鏈 ω,n-1,n-2, ..., 2, 1 的長度為 n。