Function，表示子例程的一般性名詞。在某些程式語言中，它指帶返回值的子例程或語句。在一些程式語言中起著關鍵字的作用。
在Python中，function是非常重要而且常見的，一般獲取類或函式的參數信息。
基本介紹
- 中文名：Function
- 屬性：一般性名詞
- 套用領域：編程
- 實質：帶返回值的子例程或語句
分類,數學領域,反函式,隱函式,多元函式,冪函式,指數函式,中考典例,一次函式,三角函式,冪函式,高斯函式,其它函式,算術函式,標準函式,轉換函式,雜類函式,
分類
在Python中，function一般有如下幾類：
一、POSITIONAL_OR_KEYWORD
如果沒有任何*的聲明，那么就是POSITIONAL_OR_KEYWORD類型的，如同語義一樣，POSITIONAL_OR_KEYWORD類型的參數可以通過位置POSITIONAL傳參調用，也可以過關鍵字KEYWORD傳參。以下是一個最簡單的例子：
def foo(a):
pass
# 位置傳參調用
foo(1)
# 關鍵字傳參調用
foo(a=1)
二、VAR_POSITIONAL
第二種是可變的位置參數，通過一個*前綴來聲明，如果你看到一個*xxx的函式參數聲明（不是函式調用！聲明和調用是兩種不同的含義的），那一定是屬於VAR_POSITIONAL類型的，如同語義，這種類型的參數只能通過位置POSITIONAL傳參調用，不支持關鍵字KEYWORD傳參，在函式內部，VAR_POSITIONAL類型的參數以一個元祖(tuple)顯示，有一點需要注意的，VAR_POSITIONAL類型可以不傳任何參數調用也不會報錯，而且只允許存在一個。以下是一個簡單的例子：
def foo(*b):
print(b)
# 不傳參數不會報錯，參數值是一個空元祖
foo() # 結果是 ()
# 可以傳入任意個位置參數調用
foo(1, 2.0, '3', True) #結果是 (1, 2.0, '3', True)
三、KEYWORD_ONLY
第三種是關鍵字參數，這種參數只會在VAR_POSITIONAL類型參數的後面而且不帶**前綴。如同語義，這類參數只能用關鍵字KEYWORD來傳參，不可以用位置傳參，因為位置傳的參數全讓前面的VAR_POSITIONAL類型參數接收完了，所以KEYWORD_ONLY只能通過關鍵字才能接收到參數值。以下是一個簡單的例子：
# VAR_POSITIONAL不需要使用時，可以匿名化
def foo(*, c):
pass
# 只能關鍵字傳參調用
foo(c=1)
四、VAR_KEYWORD
第四種是可變的關鍵字參數，VAR_KEYWORD類型的參數通過**前綴來聲明（不是函式調用！聲明和調用是兩種不同的含義的）。如同語義，這種類型的參數只能通過關鍵字KEYWORD調用，但可以接收任意個關鍵字參數，甚至是0個參數，在函式內部以一個字典(dict)顯示。VAR_KEYWORD類型的參數只允許有一個，只允許在函式的最後聲名。以下是簡單的例子：
def foo(**d):
print(d)
# 不傳參數不會報錯，參數值是一個空字典
foo() # 結果是 {}
# 可以傳入任意個關鍵字參數調用
foo(a=1, b=2.0, c='3', d=True) # 結果是 {'d': True, 'c': '3', 'b': 2.0, 'a': 1}
五、POSITIONAL_ONLY
第五種是位置參數，選擇最後說這個，是因為它一點也不重要，屬於python的歷史產物，你無法在高版本的python中創建一個POSITIONAL_ONLY類型的參數，在某種底層的內置函式也許會使用這類型的參數，但我試用inspect模組也沒法正確識別它的命名，但在Ipython的??幫助下，還是能看到Init signature: dict(self, /, *args, **kwargs)這裡的self就是位置參數POSITIONAL_ONLY了。相信我，你不會需要用到它的，現在python推薦用VAR_POSITIONAL來代替它。下面是一個綜合示例：
import inspect
def foo(a, *b, c, **d):
pass
for name, parame in inspect.signature(foo).parameters.items():
print(name, ': ', parame.kind)
默認參數
VAR類型不允許設定默認參數
POSITIONAL_OR_KEYWORD和KEYWORD_ONLY可以自定義默認參數，而VAR_POSITIONAL和VAR_KEYWORD不允許自定義默認參數的，因為VAR_POSITIONAL的默認參數是tuple()空元祖，而VAR_KEYWORD的默認參數是dict()空字典。如果自定義了默認參數的話，調用函式的時候可以不必傳參，如果默認值是空的話，那就必須傳參數才能調用。
默認參數的位置
POSITIONAL_OR_KEYWORD類型的默認參數一定要放在後面，否則會報錯，KEYWORD_ONLY雖然沒有強制要求，因為都是用關鍵字傳參，誰先誰後都無所謂，但最好還是儘可能地放在後面吧。
默認參數不默認？
默認參數絕對不能設定為可變類型（比如list, dict, set），如果你在函式內改變了默認參數，下次再調用時它就不再是默認值了。
正確的示例：
def foo(p1, p2=2.0, *, k1, k2=None):
a_list = k2 or list()
pass
foo(1, k1='3')
數學領域
在數學領域，函式是一種關係，這種關係使一個集合里的每一個元素對應到另一個（可能相同的）集合里的唯一元素。
----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.
自變數，函式一個與他量有關聯的變數，這一量中的任何一值都能在他量中找到對應的固定值。
----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.
函式兩組元素一一對應的規則，第一組中的每個元素在第二組中只有唯一的對應量。
函式的概念對於數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。
～‖函式的定義：設x和y是兩個變數，D是實數集的某個子集，若對於D中的每個值x，變數y按照一定的法則有一個確定的值y與之對應，稱變數y為變數x的函式，記作 y=f(x).
functions
數學中的一種對應關係，是從非空集合A到實數集B的對應。簡單地說，甲隨著乙變，甲就是乙的函式。精確地說，設X是一個非空集合，Y是非空數集，f是個對應法則， 若對X中的每個x，按對應法則f，使Y中存在唯一的一個元素y與之對應 ，就稱對應法則f是X上的一個函式，記作y=f（x），稱X為函式f（x）的定義域，集合{y|y=f（x），x∈X}為其值域（值域是Y的子集），x叫做自變數，y叫做因變數，習慣上也說y是x的函式。
若先定義映射的概念，可以簡單定義函式為：定義在非空數集之間的映射稱為函式。
例1：y=sinx X=[0，2π]，Y=[－1，1] ，它給出了一個函式關係。當然 ，把Y改為Y1=（a，b） ，a<b為任意實數，仍然是一個函式關係。
其深度y與一岸邊點 O到測量點的距離 x 之間的對應關係呈曲線，這代表一個函式，定義域為[0，b]。以上3例展示了函式的三種表示法：公式法， 表格法和圖 像法。
複合函式<IMG src="http://t10.baidu.com/it/u=937021061,4081051841&fm=0&gp=28.jpg" name=pn0>
有3個變數，y是u的函式，y=ψ（u），u是x的函式，u=f（x），往往能形成鏈：y通過中間變數u構成了x的函式：
x→u→y，這要看定義域：設ψ的定義域為U。f的值域為U，當U*ÍU時，稱f與ψ 構成一個複合函式， 例如 y=lgsinx，x∈（0，π）。此時sinx>0 ，lgsinx有意義。但如若規定x∈（－π，0），此時sinx<0 ，lgsinx無意義，就成不了複合函式。
反函式
隱函式
若能由函式方程F（x，y）=0 確定y為x的函式y=f（x），即F（x，f（x））≡0，就稱y是x的隱函式。
思考：隱函式是否為函式？因為在其變化的過程中並不滿足“一對一”和“多對一”
多元函式
設點（x1，x2，…，xn） ∈GÍRn，UÍR1 ，若對每一點（x1，x2，…，xn）∈G，由某規則f有唯一的 u∈U與之對應：f：G→U，u=f（x1，x2，…，xn），則稱f為一個n元函式，G為定義域，U為值域。
冪函式
y=xμ（μ≠0，μ為任意實數）定義域：μ為正整數時為（－∞，+∞），μ為負整數時是（－∞，0）∪（0，+∞）；μ=（α為整數），當α是奇數時為（－∞，+∞），當α是偶數時為（0，+∞）；μ=p/q,p,q互素，作為的複合函式進行討論。略圖如圖2、圖3。
指數函式
y=ax（a>0 ，a≠1），定義成為（－∞，+∞），值域為（0 ，+∞），a>0 時是嚴格單調增加的函式（即當x2>x1時，） ，00）， 稱a為底 ， 定義域為（0，+∞），值域為（－∞，+∞）。a>1 時是嚴格單調增加的，0<a<1時是嚴格單減的。不論a為何值，對數函式的圖形均過點（1，0），對數函式與指數函式互為反函式。如圖5。
以10為底的對數稱為常用對數 ，簡記為lgx。在科學技術中普遍使用的是以e為底的對數，即自然對數，記作lnx。三角函式 見表2。
正弦函式、餘弦函式如圖6，圖7所示。反三角函式 見表3。雙曲正、餘弦如圖8。雙曲函式 雙曲正弦（ex－e-x），雙曲餘弦?（ex+e-x），雙曲正切（ex－e-x）/（ex+e-x） ，雙曲餘切（ex+e-x）/（ex－e-x）。
補充
在數學領域，函式是一種關係，這種關係使一個集合里的每一個元素對應到另一個（可能相同的）集合里的唯一元素（這只是一元函式f（x）=y的情況，請按英文原文把普遍定義給出，謝謝）。函式的概念對於數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。
術語函式，映射，對應，變換通常都是同一個意思。二次函式定義和性質 一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：
y=ax^2+bx+c
二次函式的三個通式：
y=ax^2+bx+c （一般式，a≠0，對稱軸：x=-b/（2a））
y=a(x-h)^2+k （頂點式，a≠0，對稱軸：x=h）
y=a(x-x_1）（x-x_2） （交點式，a≠0，對稱軸：x=|x_2-x_1|/2）
說明：在一般式中，拋物線與y軸相交的點的縱坐標值為c，拋物線頂點為[-b/（2a），（4ac-b^2）/（4a)]
在頂點式中，拋物線的頂點為（h,k）。
在交點式中，拋物線與x軸交與（x_1,0），（x_2,0）兩點。（前提是當y等於0時，Δ大於0，當Δ等於0時，x_1=x_2）
（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大。）
則稱y為x的二次函式。
二次函式表達式的右邊通常為二次三項式。
x是自變數，y是x的函式
二次函式的三種表達式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）
頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P（h，k）] 對於二次函式y=ax^2+bx+c 其頂點坐標為 (-b/2a，（4ac-b^2）/4a)</CA>
交點式：y=a(x-x?)(x-x) [僅限於與x軸有交點A（x? ，0）和 B（x?，0）的拋物線]
其中x1，2= -b±√b^2－4ac
註：在3種形式的互相轉化中，有如下關係：
______
h=-b/2a k=（4ac-b^2）/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函式的圖像
在<a href="#">；平面直角坐標系中作出二次函式y=x^2的圖像，
可以看出，二次函式的圖像是一條拋物線。
拋物線的性質
⒈拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
⒉拋物線有一個頂點P，坐標為P (-b/2a ，（4ac-b^2）/4a)
當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
⒊二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
⒋一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；
當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。
⒌常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
⒍拋物線與x軸交點個數
Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
_______
二次函式與一元二次方程
特別地，二次函式（以下稱函式）y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函式為關於x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax^2+bx+c=0
函式與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1．二次函式y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
解析式
y=ax^2
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
（0，0)
（h，0)
（h，k)
（-b/2a，sqrt[4ac-b^2]/4a)
對 稱 軸
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的圖象；
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象；
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0）的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0）的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是（-b/2a，[4ac-b^2]/4a）．
3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0），若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小．
4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
⑴圖象與y軸一定相交，交點坐標為（0，c）；
⑵當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A(x?，0）和B(x?，0），其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
（a≠0）的兩根．這兩點間的距離AB=|x?-x?| 另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中一點）
當△=0．圖象與x軸只有一個交點；
當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．
5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0），則當x= -b/2a時，y最小（大）值=（4ac-b^2）/4a．
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱坐標，是最值的取值．
⑴當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0）．
⑵當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0）．
⑶當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0）．
7．二次函式知識很容易與其它知識綜合套用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．
中考典例
1．（北京西城區）拋物線y=x2-2x+1的對稱軸是（ ）
（A）直線x=1 （B）直線x=-1 （C）直線x=2 （D）直線x=-2
考點：二次函式y=ax2+bx+c的對稱軸．
評析：因為拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸方程是：y=-，將已知拋物線中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故選項A正確．
另一種方法：可將拋物線配方為y=a(x-h)2+k的形式，對稱軸為x=h，已知拋物線可配方為y=(x-1）2，所以對稱軸x=1，應選A．
2．（北京東城區）有一個二次函式的圖象，三位學生分別說出了它的一些特點：
甲：對稱軸是直線x=4；
乙：與x軸兩個交點的橫坐標都是整數；
丙：與y軸交點的縱坐標也是整數，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3．
請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函式解析式： ．
考點：二次函式y=ax2+bx+c的求法
評析：設所求解析式為y=a(x-x1）（x-x2），且設x1<x2，則其圖象與x軸兩交點分別是A(x1，0），B(x2，0），與y軸交點坐標是（0，ax1x2）.
∵拋物線對稱軸是直線x=4，
∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8 ①
∵S△ABC=3，∴（x2- x1）·|a x1 x2|= 3，
即：x2- x1= ②
①②兩式相加減，可得：x2=4+，x1=4-
∵x1，x2是整數，ax1x2也是整數，∴ax1x2是3的約數，共可取值為：±1，±3。
當ax1x2=±1時，x2=7，x1=1，a=±
當ax1x2=±3時，x2=5，x1=3，a=±
因此，所求解析式為：y=±（x-7）（x-1）或y=±（x-5）（x-3）
即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3
5．（河北省）如圖13-28所示，二次函式y=x2-4x+3的圖象交x軸於A、B兩點，交y軸於點C，則△ABC的面積為（ ）
A、6 B、4 C、3 D、1
考點：二次函式y=ax2+bx+c的圖象及性質的運用。
評析：由函式圖象可知C點坐標為（0，3），再由x2-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以A、B兩點之間的距離為2。那么△ABC的面積為3，故應選C。
圖13-28
6．（安徽省）心理學家發現，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x（單位：分）之間滿足函式關係：y=-0.1x2+2.6x+43(0<x<30）。y值越大，表示接受能力越強。
⑴x在什麼範圍內，學生的接受能力逐步增強？x在什麼範圍內，學生的接受能力逐步降低？
⑵第10分時，學生的接受能力是什麼？
⑶第幾分時，學生的接受能力最強？
考點：二次函式y=ax2+bx+c的性質。
評析：將拋物線y=-0.1x2+2.6x+43變為頂點式為：y=-0.1(x-13）2+59.9，根據拋物線的性質可知開口向下，當x≤13 時，y隨x的增大而增大，當x>13時，y隨x的增大而減小。而該函式自變數的範圍為：0≤x≤30，所以兩個範圍應為0≤x≤13； 13≤x≤30。將x=10代入，求函式值即可。由頂點解析式可知在第13分鐘時接受能力為最強。解題過程如下：
解：⑴y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13）2+59.9
所以，當0≤x≤13時，學生的接受能力逐步增強。
當13<x≤30時，學生的接受能力逐步下降。
⑵當x=10時，y=-0.1（10-13）2+59.9=59。
第10分時，學生的接受能力為59。
⑶x=13時，y取得最大值，
所以，在第13分時，學生的接受能力最強。
9．（河北省）某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品．據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克．針對這種水產品的銷售情況，請解答以下問題：
⑴當銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；
⑵設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的函式關係式（不必寫出x的取值範圍）；
⑶商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？
解：⑴當銷售單價定為每千克55元時，月銷售量為：500–（55–50）×10=450（千克），所以月銷售利潤為
：（55–40）×450=6750（元）．
⑵當銷售單價定為每千克x元時，月銷售量為：[500–（x–50）×10]千克而每千克的銷售利潤是：（x–40）元，所以月銷售利潤為：
y=(x–40）[500–（x–50）×10]=(x–40）（1000–10x)=–10x2+1400x–40000（元），
∴y與x的函式解析式為：y =–10x2+1400x–40000．
⑶要使月銷售利潤達到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，
即：x2–140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80．
當銷售單價定為每千克60元時，月銷售量為：500–（60–50）×10=400（千克），月銷售成本為：
40×400=16000（元）；
當銷售單價定為每千克80元時，月銷售量為：500–（80–50）×10=200（千克），月銷售單價成本為：
40×200=8000（元）；
由於8000<10000<16000，而月銷售成本不能超過10000元，所以銷售單價應定為每千克80元．
一次函式
I、定義與定義式：[一次函式]
自變數x和因變數y有如下關係：
y=kx+b（k，b為常數，k≠0）
則稱y是x的一次函式。
特別地，當b=0時，y是x的正比例函式。
Ⅱ、一次函式的性質：
y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k
即 △y/△x=k
Ⅲ、一次函式的圖象及性質：
1． 作法與圖形：通過如下3個步驟⑴列表；⑵描點；⑶連線，可以作出一次函式的圖象——一條直線。因此，作一次函式的圖象只需知道2點，並連成直線即可。
2． 性質：在一次函式上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。
當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；
當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
當b>0時，直線必通過一、二象限；當b<0時，直線必通過三、四象限。
特別地，當b=O時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函式的圖象。
這時，當k>0時，直線只通過一、三象限；當k<0時，直線只通過二、四象限。
Ⅳ、確定一次函式的表達式：
已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函式的表達式。
⑴設一次函式的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。
⑵因為在一次函式上的任意一點P（x，y），都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：
y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。
⑶解這個二元一次方程，得到k，b的值。
⑷最後得到一次函式的表達式。
V、一次函式在生活中的套用
⒈當時間t一定，距離s是速度v的一次函式。s=vt。
⒉當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函式。設水池中原有水量S。g=S-ft。
形如 y=k/x(k為常數且k≠0) 的函式，叫做反比例函式。
自變數x的取值範圍是不等於0的一切實數。
反比例函式的圖像為雙曲線。
如圖，上面給出了k分別為正和負（2和-2）時的函式圖像。
三角函式
定義
三角函式在複數中有較為重要的套用。在物理學中，三角函式也是常用的工具。
它有六種基本函式：
符號 sin cos tan cot sec csc
正弦函式sin（A）=a/h
餘弦函式cos（A）=b/h
正切函式tan（A）=a/b
餘切函式cot（A）=b/a
在某一變化過程中，兩個變數x、y，對於某一範圍內的x的每一個值，y都有確定的值和它對應，y就是x的函式。這種關係一般用y=f(x）來表示。
函式概念的發展歷史
⒈早期函式概念——幾何觀念下的函式
十七世紀伽俐略（G．Galileo，意，1564－1642）在《兩門新科學》一書中，幾乎全部包含函式或稱為變數關係的這一概念，用文字和比例的語言表達函式的關係。1673年前後笛卡爾（Descartes，法，1596－1650）在他的解析幾何中，已注意到一個變數對另一個變數的依賴關係，但因當時尚未意識到要提煉函式概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函式的一般意義，大部分函式是被當作曲線來研究的。
1673年，萊布尼茲首次使用“function” （函式）表示“冪”，後來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用 “流量”來表示變數間的關係。
⒉十八世紀函式概念──代數觀念下的函式
1718年約翰?貝努利（Bernoulli Johann，瑞，1667－1748）在萊布尼茲函式概念的基礎上對函式概念進行了定義：“由任一變數和常數的任一形式所構成的量。”他的意思是凡變數x和常量構成的式子都叫做x的函式，並強調函式要用公式來表示。
1755，歐拉（L．Euler，瑞士，1707－1783） 把函式定義為“如果某些變數，以某一種方式依賴於另一些變數，即當後面這些變數變化時，前面這些變數也隨著變化，我們把前面的變數稱為後面變數的函式。”
18世紀中葉歐拉（L．Euler，瑞，1707－1783）給出了定義：“一個變數的函式是由這個變數和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。”他把約翰?貝努利給出的函式定義稱為解析函式，並進一步把它區分為代數函式和超越函式，還考慮了“隨意函式”。不難看出，歐拉給出的函式定義比約翰?貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。
⒊十九世紀函式概念──對應關係下的函式
1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857） 從定義變數起給出了定義：“在某些變數間存在著一定的關係，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變數，其他各變數叫做函式。”在柯西的定義中，首先出現了自變數一詞，同時指出對函式來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函式關係可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。
1822年傅立葉（Fourier，法國，1768——1830）發現某些函式也已用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函式概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函式的認識又推進了一個新層次。
1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859） 突破了這一局限，認為怎樣去建立x與y之間的關係無關緊要，他拓廣了函式概念，指出：“對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么y叫做x的函式。”這個定義避免了函式定義中對依賴關係的描述，以清晰的方式被所有數學家接受。這就是人們常說的經典函式定義。
等到康托（Cantor，德，1845－1918）創立的集合論在數學中占有重要地位之後，維布倫（Veblen，美，1880－1960）用“集合”和 “對應”的概念給出了近代函式定義，通過集合概念把函式的對應關係、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變數是數”的極限，變數可以是數，也可以是其它對象。
⒋現代函式概念──集合論下的函式
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff）在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來定義函式，其避開了意義不明確的“變數”、“對應”概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski）於1921年用集合概念來定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴謹了。
1930 年新的現代函式定義為“若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函式，記為y=f(x）。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。”
術語函式，映射，對應，變換通常都有同一個意思。
但函式只表示數與數之間的對應關係，映射還可表示點與點之間，圖形之間等的對應關係。可以說函式包含於映射。
正比例函式：
正比例函式y=kx（k是常數，k≠0）的圖象是一條經過原點的直線．當x>0時，圖象經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，圖象經過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小．
正是由於正比例函式y=kx（k是常數，k≠0）的圖象是一條直線，我們可以稱它為直線y=kx．
（另：中文“函式”名稱的由來
在中國清代數學家李善蘭（1811—1882）翻譯的《代數學》一書中首次用中文把“function”翻譯為“函式”，此譯名沿用至今。對為什麼這樣翻譯這個概念，書中解釋說“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函式”；這裡的“函”是包含的意思。）
深入研究一次函式
徐若翰
在學習一次函式時，根據中學要求，我們還要深入研究它的實際套用，以及如何改變圖象的位置。
實際問題中的分段函式
[例1]（2005年武漢市）小明早晨從家騎車到學校，先上坡後下坡，行程情況如圖。若返回時上、下一個坡的速度不變，那么小明從學校騎車回家用的時間是多少？
分析：上、下坡的速度不同，問題要分兩段來研究。
根據函式圖象提供的信息，可知小明從家去學校時，上坡路程為3600米，下坡路程為9600－3600=6000（米）。
∴上坡速度為3600÷18=200（米/分鐘）
下坡速度為6000÷（30－18）=500（米/分鐘）
小明回家時，上坡路程6000米，下坡路程3600米，所用時間為6000÷200+3600÷500=37.2（分鐘）。
在物理學科中的套用
[例2]（2004年黃岡市）某班同學在探究彈簧的長度與外力的變化關係時，實驗記錄得到的相應數據如下表：
求y關於x的函式解析式及自變數的取值範圍。
分析：根據物理學知識可知，彈簧在外力（所掛砝碼的重力）作用下發生形變（伸長），外力與指針位置的關係可以用一次函式表示；但是，每個彈簧所受的外力都有一定的限度，因此我們必須求出自變數的取值範圍。
由已知數據求出：在彈簧受力伸長過程中，
令y=7.5，得x=275
∴所求函式為
注 兩段之間的分界點是x=275，不是x=300。
直線平移的套用
[例3]（2005年黑龍江省）在直角坐標系中，已知點A（－9，0）、P（0，－3）、C（0，－12）。問：在x軸上是否存在點Q，使以點A、C、P、Q為頂點的四邊形是梯形？若存在，求直線PQ的解析式；若不存在，請說明理由。
分析：在所研究的梯形中哪兩邊平行？有兩種可能：如果，就是把直線CA平移，經過P點易求直線CA的解析式為
平移後得到直線的解析式為
如果
把直線PA：平移，經過C點
得到直線：
直線交x軸於點（－36，0）
直線的解析式為
如何理解函式概念
函式是數學中的一個極其重要的基本概念，在中學數學中，函式及其有關的內容很豐富，所占份量重，掌握好函式的概念對今後的學習非常有用。回顧函式概念的發展史，“函式”作為數學術語是萊布尼茲首次採用的，他在1692年的論文中第一次提出函式這一概念，但其含義與現在對函式的理解大不相同。現代國中數學課程中，函式定義採用的是“變數說”。即：
它明確指出，自變數x在某一給定範圍可以取任一個值，因變數y按一定的規律也相應每次取唯一確定的值。但是，國中階段並不要求掌握自變數的取值範圍（看一下國中要學的幾個函式可知，這個定義完全夠用，而且，對於國中生來說，也容易理解）。
函式概念的抽象性很強，學生不易理解，要理解函式概念必須明確兩點：第一，明確自變數和因變數的關係，在某變化過程中，有兩個變數x，y，如果看成y隨x 的變化而變化，那么x稱為自變數，y稱為因變數；如果看成x隨y的變化而變化，那么y稱為自變數，x稱為因變數。第二，函式定義的核心是“一一對應”，即給定一個自變數x的值就有唯一確定的因變數y的值和它對應，這樣的對應可以是“一個自變數對應一個因變數”（簡稱“一對一”），也可以是“幾個自變數對應一個因變數”（簡稱“多對一”），但不可以是“一個自變數對應多個因變數”（簡稱“一對多”），下面以圖1來闡述這樣的對應關係（其中x是自變數，y是因變數）：
“一對一” “多對一” “一對多”
是函式 是函式 不是函式
圖1
下面舉4個例子幫助大家理解函式的概念：
例1 一根彈簧的長度為10cm，當彈簧受到拉力F（F在一定的範圍內）時，彈簧的長度用y表示，測得有關的數據如表1：
表1
拉力F（kg）
1
2
3
4
…
彈簧的長度y（c）
…
彈簧的長度y是拉力F的函式嗎？
分析：從表格中可讀出信息，當拉力分別是1kg、2kg、3kg、4kg時，都唯一對應了一個彈簧的長度y，滿足函式的定義，所以彈簧的長度y是拉力F的函式。一般地，以表格形式給出的函式，第一行是自變數的值，第二行是因變數的值。
例2 圖2是某地區一年內每個月的最高氣溫和最低氣溫圖。
圖2
圖2描述了哪些變數之間的關係？你能將其中某個變數看成另一個變數的函式嗎？
分析：圖中給出了三個變數，最高氣溫、最低氣溫和月份，從圖中可以直觀地看出最高氣溫和最低氣溫隨著月份的變化而變化，而且每月的最高氣溫和最低氣溫都是唯一的，所以最高氣溫（或最低氣溫）是月份的函式。我們還可以發現7月和8月的最高氣溫相同，也就是說兩個自變數對應了同一因變數。一般地，以圖象形式給出的函式，橫軸表示自變數，縱軸表示因變數。
例3 下列變數之間的關係是不是函式關係？說明理由。
⑴圓的面積S與半徑r之間的關係；
⑵汽車以70千米/時的速度行駛，它駛過的路程s（千米）和所用時間t（時）之間的關係；
⑶等腰三角形的面積是，它的底邊長y（厘米）和底邊上的高x（厘米）之間的關係。
分析：⑴圓的面積S與半徑r之間的關係式是，當半徑確定時，圓的面積S也唯一確定，所以圓的面積S與半徑r之間的關係是函式關係。
⑵路程s（千米）和所用時間t（時）的關係式是，當時間t確定時，路程s也唯一確定，所以路程s（千米）和所用時間t（時）之間的關係是函式關係。
⑶底邊長ycm和底邊上的高xcm的關係式是，當底邊上的高x確定時，底邊長y也唯一確定，所以底邊長ycm和底邊上的高xcm之間的關係是函式關係。
一般地，以關係式形式給出的函式，等號左邊是因變數，等號右邊的未知數是自變數。
例4 下列圖象中，不能表示函式關係的是（）
分析：在上面四個圖象中，A、C、D都可以表示函式關係，因為任意給定一個自變數x的值，都有唯一的一個y值與它相對應，但是B圖中，任意給定一個自變數x的值，卻有兩個不同的y值與它對應，所以本題應選B。
冪函式
冪函式的一般形式為y=x^a。
如果a取非零的有理數是比較容易理解的，不過初學者對於a取無理數，則不太容易理解，在我們的課程里，不要求掌握如何理解指數為無理數的問題，因為這涉及到實數連續統的極為深刻的知識。因此我們只要接受它作為一個已知事實即可。
對於a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
排除了為0與負數兩種可能，即對於x>0，則a可以是任意實數；
排除了為0這種可能，即對於x<0和x>0的所有實數，q不能是偶數；
排除了為負數這種可能，即對於x為大於且等於0的所有實數，a就不能是負數。
如果a為任意實數，則函式的定義域為大於0的所有實數；
如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函式的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函式的定義域為大於0的所有實數；如果同時q為奇數，則函式的定義域為不等於0 的所有實數。
在x大於0時，函式的值域總是大於0的實數。
在x小於0時，則只有同時q為奇數，函式的值域為非零的實數。
而只有a為正數，0才進入函式的值域。
由於x大於0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函式在第一象限的各自情況.
可以看到：
⑴所有的圖形都通過（1，1）這點。
⑵當a大於0時，冪函式為單調遞增的，而a小於0時，冪函式為單調遞減函式。
⑶當a大於1時，冪函式圖形下凹；當a小於1大於0時，冪函式圖形上凸。
⑷當a小於0時，a越小，圖形傾斜程度越大。
⑸a大於0，函式過（0，0）；a小於0，函式不過（0，0）點。
⑹顯然冪函式無界。
高斯函式
設x∈R ， 用 [x]或int(x）表示不超過x 的最大整數，並用表示x的非負純小數，則 y= [x] 稱為高斯（Guass）函式，也叫取整函式。
任意一個實數都能寫成整數與非負純小數之和，即：x= [x] + （0≤<1）
其它函式
在一些程式語言中起著關鍵字的作用. 例如在delphi中是函式聲明的關鍵字，舉例
functionadd(a:integer;b:integer):integer; begin result:=a+b;end;
pascal中的函式
算術函式
函式標識符自變數類型 意義 結果類型
abs 整型、實型絕對值同自變數
arctan 整型、實型 反正切 實型
cos 整型、實型餘弦實型
exp 整型、實型 指數 實型
frac 整型、實型小數部分 實型
int 整型、實型整數部分實型
ln 整型、實型自然對數實型
pi 無自變數 圓周率 實型
sin 整型、實型正弦實型
sqr 整型、實型 平方 同自變數
sqrt 整型、實型平方根實型
例：abs(-4）=4 abs(-7.49）=7.49 arctan(0)=0.0
sin(pi)=0.0 cos(pi)=-1.0 frac(-3.71）=-0.71
int(-3.71）=-3.0 sqr⑷=16 sqrt⑷=2
標準函式
函式標識符自變數類型 意義 結果類型
odd 整型 判斷奇數 布爾型
pred 離散類型 求前趨 同自變數
succ 離散類型 求後繼 同自變數
例：odd（1000)=false pred（2000)=1999 succ（2000)=2001
odd⑶=true pred('x')='w succ('x')='y'
轉換函式
函式標識符 自變數類型 意義 結果類型
chr byte 自變數對應的字元 字元型
ord 離散類型 自變數對應的序號 longint
round 實型四捨五入longint
trunc 實型 截斷取整 longint
例：chr（66）='B' ord('A')=65 round(-4.3）=-5 trunc（2.88）=2
雜類函式
函式標識符 自變數類型 意義 結果類型
random 無自變數 [0,1間的隨機實數 real
random word [0，自變數間的隨機整數） word
randomize 無自變數 初始化內部隨機數產生器 longint
upcase 字元型 使小寫英文字母變為大寫 字元型
downcase 字元型 使小寫英文字母變為大寫 字元型
SYSTEM TP的運行庫，包括常用的標準函式和過程，可以在程式中直接使用，不需USES語句說明。
DOS 具有日期、時間、目錄查找、程式執行等功能
CRT 具有螢幕模式控制、擴展鍵盤碼、顏色、視窗、聲音等 功能
PRINTER 支持列印輸出操作。
GRAPH 高級圖形軟體包，支持多種圖形適配器。
GRAPH3 實現TP3.0的圖形軟體包。
TURBO3 兼容TP3.0的源程式。
OVERLAY 實現高級覆蓋管理
SYSTEM單元常用過程與函式
ABS(X) F 求變數的絕對值
ADDR(X) F 測變數地址
APPEND(F) P 打開一個存在的文本檔案，並將檔案指 針指向檔案末尾準備添加元素
ARCTAN(X) F 反正切
ASSIGN(F,C) P 將字元串C所表示的外部檔案名稱賦給文 件變數F
ASSIGNED(X) P 測試程式當中的指針或變數是否為空
BLOCKREAD(F,D,NUM) P 讀類型檔案。
BLOCKWRITE(F,D,NUM) P 寫無類型檔案
BREAK P 中止或結束循環
CHDIR(PATH) P 改變當前目錄
CHR(X) F 求ASCⅡ碼值為X的字元
CLOSE(F) P 關閉檔案
CONCAT(S1,S2...S3） F 字元串合併
CONTINUE P 繼續循環
COPY(S,POS,LEN) F 返回一個字元串的子串
COS(X) F餘弦函式
CSEG F 返回CS暫存器的當前值
DEC(X) F X:=X-1
DELETE(S,POS,LEN) P 刪除一個字元串的子串
DISPOSE(P) P 釋放一個動態變數
DSEG F 返回DS暫存器的當前值
EOF(F) F 判斷檔案是否結束
EOLN(F) F 判斷檔案類型中的一行是否結束
ERASE(F) P 刪除一個存在的外部檔案。
EⅪT P 過程中止
EXP(X) F 以E為底的指數函式
FILEPOS(F) F 檔案記錄的當前位置
FILESIZE(F) F 檔案記錄數
FILLCHAR(D,LEN,DATE) P 填充數值或字元
FLUSH(F) P 清空檔案快取區
FRAC(X) F 取實形變數的小數部分
FREEMEM(P,I) P 釋放變長動態變數
GETDIR(DRV,PATH) P 取當前盤，當前目錄
GETMEM(P,I) P 分配變長的動態變數，並把塊地址存放在一個指針變數中
HALT P 立即中止程式執行，返回TP編輯器或DOS
HI(I) F 返回一個變數的高位位元組
INSERT(S,D,POS) F 在一個字元串中某一位置開始插入一個子串
INT F 取整數部分
IORESULT F 返回最後一次輸入/出操作的結果狀態
LENGTH(S) F 取字元串的長度
LN(R) F 求自然對數
LO(I) F 返回一個變數的低位位元組
MAXAVAIL F 返回最大記憶體空間
MEMAVAIL F 返回可用記憶體數目
MKDIR(PATH) P 建立一個子目錄
MOVE(S,D,LEN) P 快傳送
NEW(P) P 建立一個新的動態變數
ODD(X) F 判斷一個變數的值是否為奇數
OFS(X) F 側變數偏移地址
ORD(CH) F 求一個字元的ASCⅡ碼值
PARAMCOUNT F DOS參數串長度
PARAMSTR(N) F DOS參數串
PI F 圓周率的值
pos(str1,str2） f 測一個字元串中包含的另一個子串的開始位置
pred(x) f 求前驅
ptr(i) f 指針賦值
random f 返回0~1之間的隨機實數
randomize p 初始化隨機數發生器
read/readln(f,x) p 讀入/輸入數據
rename(f,str) p 給一個外部檔案改名
reset(f) p 打開檔案，並將檔案指針指向開始，並準備讀數據
rewrite(f) p 打開檔案，並將檔案指針指向開始，準備寫資料
rmdir(path) p 刪除一個子目錄
round(x) f 求實數的近似數
runerror p 停止程式的運行
scrollto p 滾動顯示視窗的某部分內容
seek(f,n) p 將檔案指針定位於檔案f的第n個檔案成分上
seekrof(f) f 定位到檔案尾
seekroln(f) f 定位到行尾
seg(n) f 測變數段地址
settextbuf(f) p 將輸入/出緩衝區與一個文本檔案建立關聯
sin(x) f正弦函式
sizeof(x) f 測變數大小
sptr f 返回sp暫存器的當前值
sqr(x) f 平方
sqrt(x) f平方根
sseg f 返回ss暫存器的當前值
str(i,s) f 將一個整數轉換成字元串
succ(X) f 後繼函式
swap(x) f 交換一個變數的高位和低位位元組
trunc(x) f 截去實數的小數部分
truncate(f) p 截去檔案當前指針以後的內容
upcase(ch) f 將小寫字母轉換成大寫字母
val(s,r,p) p 將一個字元串轉換成數值
writeln(f,x) p 輸出
dos單元常用過程與函式
getdate p 返回系統當前日期
detftime p 返回最後一次寫入的日期和時間
gettime p 返回系統當前時間
packtime p 轉換系統日期和時間，封裝成4個位元組的長整形格式
setdate p 設定系統當前日期
setftime p 寫入新的系統日期和時間，覆蓋系統最後一次寫入的 系統日期和時間檔案
settime p 設定系統當前時間
uppacktime p 將系統日期和時間轉換成紀錄格式
diskfree f 返回指定磁碟可用剩餘空間
disksize f 返回指定磁碟的總容量
get/setverity p 返回/設定dos狀態下的磁碟讀寫標記
fexpand f 返回函式名的全稱
fsearch f 在一個目錄中查找檔案
fsplit f 將一個檔案名稱分成目錄、檔案名稱、擴展名
3 turbo pascal基本函式過程及解釋
findnext p 返回下一個滿足匹配條件的檔案名稱
getfattr p 返回檔案的屬性
setfattr p 設定檔案屬性
gerintvec p 返回某箇中斷變數值
intr p 執行軟中斷
msdos p 執行dos 系統調用
setintvec p 設定中斷值
exec p 通過一個特定命令行執行特定程式段
keep p 中斷程式的執行但仍駐留在記憶體中
swapvectors p 用當前變數交換所有中斷變數值
dosexitcode f 回到子程式出口
dosversion f 顯示dos版本
crt單元
assigncrt(f) p 將文本檔案f與顯示器crt建立聯繫
clreol p 清除當前行游標所在位置以後的字元
clrscr p 清除當前視窗或螢幕，游標返回到左上角
delay(t) p 等待t毫秒
delline p 清除游標所在行上所有內容
gotoxy(x,y) p 將游標移到螢幕某處
highvideo p 選擇高亮度顯示字元
insline p 在當前游標位置插入空行
keypressed f 測定鍵盤輸入狀態
lowvideo p 低亮度顯示字元
normvideo p 選擇正常文本屬性從游標所在位置開始顯示字元
nosound p 關閉內部揚聲器
readkey p 等待從鍵盤輸入一個字元
sound(hz) p 以hz指定的頻率發聲
textbackground(soor) p 設定正文背景顏色
textcolor(color) p 設定正文前景顏色
textmode p 選擇特定的文本顯示模式
wherex/y f 返回當前游標位置的坐標值
window(x1,y1,x2,y2） p 在螢幕定義一個文本視窗
其他單元
chain(f) p 目標程式連結
execute(f) p 執行目標程式
mark(p) p 標記動態變數
release(p) p 釋放動態變數區
srtinit p 螢幕初始化
crtline p 漢字螢幕方式轉換
graphbackground(color) p 選擇背景色
graphcolormode p 中解析度彩色圖形方式，320*200彩色
graphmode p 中解析度黑白圖形方式，320*200黑白
graphwindow(x1,y1,x2,y2,color)p 定義圖形方式視窗
hires p 高解析度單色圖形方式，640*200黑白
hirescolor(color) p 高解析度彩色圖形方式，640*200彩色
palette(color) p 中解析度彩色圖形顏色組
ovrpath(path) p 指定覆蓋檔案路徑
draw(x1,y1,x2,y2,color) p 畫線
intr(n,m) p 8086中斷調用
plot(x,y,color) p 畫點
random(integer) f 產生隨機整數
seg(x) f 測變數段地址
colortable(c1,c2,c3,c4） p 重定義顏色組
arc(x,y,radius,color) p 畫圓弧
circle(x,y,radius,color) p 畫圓
getpic(buffer,x1,x2,y1,y2） p 螢幕轉儲到螢幕
putpic(buffer,x,y) p 緩衝器轉儲到螢幕
getdotcolor(x,y) p 讀點
fillscreen(color) p 填充螢幕
fillshape(x,y,fillcol,bordercol) p 填充一個區域
常用數學函式
求絕對值函式abs(x)
定義：function Abs(X): (Same type as parameter);
說明：X可以是整型，也可以是實型；返回值和X的類型一致例子：
取整函式int(x)
定義：function Int(X: Real): Real;
注意：X是實型數，返回值也是實型的；返回的是X的整數部分，也就是說，X被截尾了（而不是四捨五入）例子：
var R: Real;
begin
R := Int（123.567）； { 123.0 }
R := Int(-123.456）； { -123.0 }
end.
截尾函式trunc(x)
定義：function Trunc(X: Real): Longint;
注意：X是實型表達式. Trunc 返回Longint型的X的整數部分例子：
begin
Writeln（1.4,' becomes ',Trunc（1.4））；
Writeln（1.5,' becomes ',Trunc（1.5））；
Writeln(-1.4,'becomes ',Trunc(-1.4））；
Writeln(-1.5,'becomes ',Trunc(-1.5））；
end.
四捨五入函式round(x)
定義：function Round(X: Real): Longint;
注意：X是實型表達式. Round 返回Longint型的X的四捨五入值.如果返回值超出了Longint的表示範圍，則出錯. 例子：
begin
Writeln（1.4,' rounds to ',Round（1.4））；
Writeln（1.5,' rounds to ',Round（1.5））；
Writeln(-1.4,'rounds to ',Round(-1.4））；
Writeln(-1.5,'rounds to ',Round(-1.5））；
end.
取小數函式frac(x)
定義：function Frac(X: Real): Real;
注意：X 是實型表達式. 結果返回 X 的小數部分； 也就是說，Frac(X) = X - Int(_X). 例子：
var
R: Real;
begin
R := Frac（123.456）； { 0.456 }
R := Frac(-123.456）； { -0.456 }
end.
求平方根函式sqrt(x）和平方函式sqr(x)
定義：平方根：function Sqrt(X: Real): Real;
注意：X 是實型表達式. 返回實型的X的平方根. 平方：function Sqr(X): (Same type as parameter);
注意：X 是實型或整型表達式.返回值的類型和X的類型一致，大小是X的平方，即X*X.
例子：
begin
Writeln('5 squared is ',Sqr⑸）；
Writeln('The square root of 2 is ',Sqrt（2.0)); { 1.414 }
參數
值形參，變數形參
