基本介紹
函式由來,表示方法,解析式,基本性質,函式性質,圖像性質,位置關係,學習方法,知識要點,誤區提醒,和方程的異同,和不等式關係,函式套用,概括整合,常用公式,生活中的套用,常見題型,其它相關,函式和方程,函式和不等式,與二元一次方程的關係,方法小結,區別,
函式由來
“函式”一詞最初是由德國的數學家萊布尼茨在17世紀首先採用的，當時萊布尼茨用“函式”這一詞來表示變數x的冪，即x2，x3，….接下來萊布尼茨又將“函式”這一詞用來表示曲線上的橫坐標、縱坐標、切線的長度、垂線的長度等等所有與曲線上的點有關的變數，就這樣“函式”這詞逐漸盛行。
在中國，古時候的人將“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思，清代數學家、天文學家、翻譯家和教育家，近代科學的先驅者李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函式。”中國的古代人還用“天、地、人、物”4個字來表示4個不同的未知數或變數，顯然，在李善蘭的這個定義中的含義就是“凡是公式中含有變數x，則該式子叫做x的函式。”這樣，在中國“函式”是指公式里含有變數的意思。
瑞士數學家雅克·柏努意給出了和萊布尼茨相同的函式定義。1718年，雅克·柏努意的弟弟約翰·柏努意給出了函式了如下的函式定義：由任一變數和常數的任意形式所構成的量叫做這一變數的函式.換句話說，由x和常量所構成的任一式子都可稱之為關於x的函式。
1775年，歐拉把函式定義為：“如果某些變數：以某一種方式依賴於另一些變數.即當後面這些變數變化時，前面這些變數也隨著變化，我們把前面的變數稱為後面變數的函式。”由此可以看到，由萊布尼茲到歐拉所引入的函式概念，都還是和解析表達式、曲線表達式等概念糾纏在一起。
首屈一指的法國數學家柯西引入了新的函式定義：“在某些變數間存在著一定的關係，當一經給定其中某一變數的值，其它變數的值也可隨之而確定時，則將最初的變數稱之為‘自變數’，其它各變數則稱為“函式”。在柯西的定義中，首先出現了“自變數”一詞。
1834年，俄國數學家羅巴契夫斯基進一步提出函式的定義：“x的函式是這樣的一個數，它對於每一個x都有確定的值，並且隨著x一起變化。函式值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法.函式的這種依賴關係可以存在，但仍然是未知的”.這個定義指出了對應關係。即條件的必要性，利用這個關係以求出每一個x的對應值。
1837年德國數學家狄里克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關係是無關緊要的，所以他的定義是：“如果對於x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函式。”
德國數學家黎曼引入了函式的新定義：“對於x的每一個值，y總有完全確定了的值與之對應，而不拘建立x，y之間的對應方法如何，均將y稱為x的函式。”
上面函式概念的演變，我們可以知道，函式的定義必須抓住函式的本質屬性，變數y稱為x的函式，只須有一個法則存在，使得這個函式取值範圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式。
由此，就有了我們課本上的函式的定義：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變數x與y，並且對於x的每一個確定的值，y都有惟一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變數，y是x的函式。
表示方法
一次函式表示方法一次函式有三種表示方法，如下：
1、解析式法
用含自變數x的式子表示函式的方法叫做解析式法。
2、列表法
把一系列x的值對應的函式值y列成一個表來表示的函式關係的方法叫做列表法。
3、圖像法
用圖象來表示函式關係的方法叫做圖象法。
解析式
一次函式的解析式為：
基本性質
函式性質
1、y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k。
即：y=kx+b（k≠0）（k不等於0，且k，b為常數）。
2、當x=0時，b為函式在y軸上的交點，坐標為（0，b）。
當y=0時，該函式圖象在x軸上的交點坐標為（-b/k，0）。
3、k為一次函式y=kx+b的斜率，k=tanθ（角θ為一次函式圖象與x軸正方向夾角，θ≠90°）。
4、當b=0時（即y=kx），一次函式圖象變為正比例函式，正比例函式是特殊的一次函式。
5、函式圖象性質：當k相同，且b不相等，圖像平行；
當k不同，且b相等，圖象相交於Y軸；
當k互為負倒數時，兩直線垂直。
6、平移時：上加下減在末尾，左加右減在中間。
性質圖像性質
1、作法與圖形：通過如下3個步驟：
（1）列表：每確定自變數x的一個值，求出因變數y的一個值，並列表；
（2）描點：一般取兩個點，根據“兩點確定一條直線”的道理，即在直角坐標系中，以自變數的值為橫坐標，相應的函式值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點。
一般地，y=kx+b（k≠0）的圖象過（0，b）和（-b/k，0）兩點即可畫出。
正比例函式y=kx（k≠0）的圖象是過坐標原點的一條直線，一般取（0，0）和（1，k）兩點畫出。
2、性質：（1）在一次函式上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b（k≠0）。（2）一次函式與y軸交點的坐標總是（0，b），與x軸總是交於（，0）正比例函式的圖象都是過原點。
3、函式不是數，它是指某一變化過程中兩個變數之間的關係。
4、k，b與函式圖象所在象限：
y=kx時（即b等於0，y與x成正比，此時的圖象是一條經過原點的直線）
當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；
當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
y=kx+b（k，b為常數，k≠0）時：
當k>0，b>0，這時此函式的圖象經過一，二，三象限；
當k>0，b<0，這時此函式的圖象經過一，三，四象限；
當k<0，b>0，這時此函式的圖象經過一，二，四象限；
當k<0，b<0，這時此函式的圖象經過二，三，四象限。
當b>0時，直線必通過一、二象限；
當b<0時，直線必通過三、四象限。
特別地，當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函式的圖象。
這時，當k>0時，直線只通過一、三象限，不會通過二、四象限。當k<0時，直線只通過二、四象限，不會通過一、三象限。
5、特殊位置關係
當平面直角坐標系中兩直線平行時，其函式解析式中K值（即一次項係數）相等。
當平面直角坐標系中兩直線垂直時，其函式解析式中K值的乘積為-1。
6、直線y=kx+b的圖象和性質與k、b的關係如下表所示：
k>0，b>0：經過第一、二、三象限
k>0，b<0：經過第一、三、四象限
k>0，b=0：經過第一、三象限（經過原點）
結論：k>0時，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大。
k<0，b>0：經過第一、二、四象限
k<0，b<0：經過第二、三、四象限
k<0，b=0：經過第二、四象限（經過原點）
結論：k<0時，圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小。
7、將函式向上平移n格，函式解析式為y=kx+b+n，將函式向下平移n格，函式解析式為y=kx+b-n，將函式向左平移n格，函式解析式為y=k（x+n）+b，將函式向右平移n格，函式解析式為y=k（x-n）+b。
位置關係
當平面直角坐標系中兩直線平行時，其函式解析式中k的值（即一次項係數）相等；
當平面直角坐標系中兩直線垂直時，其一次函式斜率的乘積=-1。
關於平面直角坐標系中兩直線垂直時，其函式解析式中K值互為相反數的證明：
如圖，這2個函式互相垂直，但若直接證明，存在困難，不易理解，如果平移平面直角坐標系，使這2個函式的交點交於原點，就會更簡單。就像這一樣，可以設這2個函式的表達式分別為；
y=ax，y=bx。
在x正半軸上取一點（z，0）（便於計算），做與y軸平行的直線，如圖，可知OC=z，AC=a*z，BC=b*z，由勾股定理可得：
OA=√z^2+（a*z）^2
OB=√z^2+（b*z）^2
又有OA^2+OB^2=AB^2，得
z^2+（az）^2+z^2+（bz）^2=（az-bz）^2（因為b小於0，故為az-bz）化簡得：
z^2+a^2*z^2+z^2+b^2*z^2=a^2*z^2-2ab*z^2+b^2*z^2
2z^2=-2ab*z^2
ab=-1
即k=-1
所以兩個K值的乘積為-1。
注意：與y軸平行的直線沒有函式解析式，與x軸平行的直線的解析式為常函式，故上述性質中這兩種直線除外。
兩一次函式平行
兩一次函式垂直學習方法
知識要點
1、要理解函式的意義。
2、聯繫實際對函式圖象的理解。
3、隨圖象理解數字的變化而變化。
誤區提醒
1、對一次函式概念理解有誤，漏掉一次項係數不為0這一限制條件；
2、對一次函式圖象和性質存在思維誤區；
3、忽略一次函式自變數取值範圍；（有時x∈Z，其圖象表現為非連續性的點的集合）
4.對於一次函式中，把自變數認為不能等於零。
和方程的異同
1、一次函式和一元一次方程有相似的表達形式。
2、一次函式表示的是一對（x，y）之間的關係，它有無數對解；一元一次方程表示的是未知數x的值，最多只有1個值。
3、一次函式與x軸交點的橫坐標就是相應的一元一次方程的根。
和不等式關係
從函式的角度看，解不等式的方法就是尋求使一次函式y=kx+b的值大於（或小於）0的自變數x的取值範圍的一個過程；
從函式圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合。
對應一次函式y=kx+b，它與x軸交點為（-b/k，0）。
當k>0時，不等式kx+b>0的解為：x>-b/k，不等式kx+b<0的解為：x<-b/k；
當k<0的解為：不等式kx+b>0的解為：x<-b/k，不等式kx+b<0的解為：x>-b/k。
函式套用
概括整合
（2）理清題意是採用分段函式解決問題的關鍵。
常用公式
1、求函式圖象的k值：（y1-y2）/（x1-x2），即k=tanα（α為直線與x軸正方向的夾角）
3、求與y軸平行線段的中點：（y1+y2）/2
4、求任意線段的長：√[（x1-x2）2+（y1-y2）2]
5、求兩個一次函式式圖像交點坐標：解兩函式式
兩個一次函式y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，令y1=y2，得k1x+b1=k2x+b2。將解得的x=x0值代回y1=k1x+b1，y2=k2x+b2兩式的任一式，得到y=y0，則（x0，y0）即為y1=k1x+b1與y2=k2x+b2之交點坐標。
6、求任意2點所連線段的中點坐標：（（x1+x2）/2，（y1+y2）/2）
7、求任意2點的連線的一次函式解析式：（x-x1）/（x1-x2）=（y-y1）/（y1-y2）（若分母為0，則分子為0）
（x，y）的正負性為+，+（正，正）時該點在第一象限
（x，y）的正負性為-，+（負，正）時該點在第二象限
（x，y）的正負性為-，-（負，負）時該點在第三象限
（x，y）的正負性為+，-（正，負）時該點在第四象限
8、若兩條直線y1=k1x+b1，y2=k2x+b2互相平行，則k1=k2，b1≠b2
9、如兩條直線y1=k1x+b1，y2=k2x+b2互相垂直，則k1×k2=-1
10、設原直線為y=f（x）=kx+b
y=f（x-n）=k（x-n）+b就是直線向右平移n個單位
y=f（x+n）=k（x+n）+b就是直線向左平移n個單位
y=f（x）+n=kx+b+n就是向上平移n個單位
y=f（x）-n=kx+b-n就是向下平移n個單位
口訣：左加右減相對於X，上加下減相對於b。
11、直線y=kx+b與x軸的交點：（-b/k，0），與y軸的交點：（0，b）
生活中的套用
1、當時間t一定，距離s是速度v的一次函式。s=vt。
2、如果水池抽水速度f一定，水池裡水量g是抽水時間t的一次函式。設水池中原有水量S。g=S-ft。
3、當彈簧原長度b（未掛重物時的長度）一定時，彈簧掛重物後的長度y是重物重量x的一次函式，即y=kx+b（k為任意正數）。
常見題型
常見題型一次函式及其圖象是國中代數的重要內容，也是高中解析幾何的基石，更是中考的重點考查內容。
其中求一次函式解析式就是一類常見題型。現以部分中考題為例介紹幾種求一次函式解析式的常見題型。希望對大家的學習有所幫助。
一、定義型
例1、已知函式是一次函式，求其解析式。
解：由一次函式定已知
注意：利用定義求一次函式y=kx+b解析式時，要保證k≠0。如本例中應保證m-3≠0。
二、點斜型
例2、已知一次函式y=kx-3的圖象過點（2，-1），求這個函式的解析式。
解：一次函式的圖象過點（2，-1），，即k=1。故這個一次函式的解析式為y=x-3。
變式問法：已知一次函式y=kx-3，當x=2時，y=-1時，求這個函式的解析式。
三、兩點型
例3、已知某個一次函式的圖象與x軸、y軸的交點坐標分別是（-2，0）、（0，4），則這個函式的解析式為_____。
解：設一次函式解析式為y=kx+b
由題意得，
故這個一次函式的解析式為y=2x+4。
四、圖像型
圖1
圖1例4、已知某個一次函式的圖象如圖1所示，則該函式的解析式為__________。
解：設一次函式解析式為y=kx+b由圖可知一次函式的圖象過點（1，0）、（0，2）有
所以k=-2
b=2
故這個一次函式的解析式為y=-2x+2。
五.斜截型
例5、已知直線y=kx+b與直線y=-2x平行，且在y軸上的截距為2，則直線的解析式為___________。
解析：兩條直線；。當k1=k2，b1≠b2時，
六.平移型
例6、把直線y=2x+1向下平移2個單位得到的圖象解析式為___________。
解析：設函式解析式為y=kx+b，直線y=2x+1向下平移2個單位得到的直線y=kx+b與直線y=2x+1平行
直線y=kx+b在y軸上的截距為b=1-2=-1。
七、實際套用型
例7、某油箱中存油20升，油從管道中勻速流出，流速為0.2升/分鐘，則油箱中剩油量Q（升）與流出時間t（分鐘）的函式關係式為___________。
解：由題意得Q=20-0.2t，即Q=-0.2t+20
故所求函式的解析式為Q=-0.2t+20（）
注意：求實際套用型問題的函式關係式要寫出自變數的取值範圍，別忘了考慮變數存在等於0的情況。
八、面積型
例8、已知直線y=kx-4與兩坐標軸所圍成的三角形面積等於4，則直線解析式為__________。
解：易求得直線與x軸交點為，所以
故直線解析式為y=2x-4或y=-2x-4。
九、對稱型
若直線與直線y=kx+b關於
（1）x軸對稱，則直線的解析式為y=-kx-b；
（2）y軸對稱，則直線的解析式為y=-kx+b；
（3）直線y=x對稱，則直線的解析式為；
（4）直線y=-x對稱，則直線的解析式為；
（5）原點對稱，則直線的解析式為y=kx-b。
例9、若直線l與直線y=2x-1關於y軸對稱，則直線l的解析式為____________。
解：由（2）得直線l的解析式為y=-2x-1。
十、開放型
例10、已知函式的圖象過點A（1，4），B（2，2）兩點，請寫出滿足上述條件的兩個不同的函式解析式，並簡要說明解答過程。
解：
（1）若經過A、B兩點的函式圖象是直線，由兩點式易得y=-2x+6
（2）由於A、B兩點的橫、縱坐標的積都等於4，所以經過A、B兩點的函式圖象還可以是雙曲線。
十一、幾何型
例11、如圖2，在平面直角坐標系中，A、B是x軸上的兩點，以AO、BO為直徑的半圓分別交AC、BC於E、F兩點，若C點的坐標為（0，3）。（1）求圖象過A、B、C三點的二次函式的解析式，並求其對稱軸；（2）求圖象過點E、F的一次函式的解析式。
解：（1）由直角三角形的知識易得點A（-3√3，0）、B（√3，0），由待定係數法可求得二次函式解析式為，對稱軸是x=-√3 （2）連結OE、OF，則、。過E、F分別作x、y軸的垂線，垂足為M、N、P、G，易求得E、F，由待定係數法可求得一次函式解析式。
圖2十二、方程型
例12、若方程x2+3x+1=0的兩根分別為，求經過點P和Q的一次函式圖象的解析式
解：由根與係數的關係得
設過點P、Q的一次函式的解析式為y=kx+b
則有
解得
其它相關
函式和方程
1、從形式上看：一次函式y=kx+b，一元一次方程ax+b=0。
2、從內容上看：一次函式表示的是一對（x，y）之間的關係，它有無數對值；一元一次方程表示的是未知數x的值，最多只有1個值。
3、相互關係：一次函式與x軸交點的橫坐標就是相應的一元一次方程的根。例如：y=4x+8與x軸的交點是（-2，0）、則一元一次方程4x+8=0的根是x=-2。
函式和不等式
解不等式的方法：從函式的角度看，就是尋求使一次函式y=kx+b的值大於（或小於）0的自變數x的取值範圍；
從函式圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合。
對應一次函式y=kx+b，它與x軸交點為（-b/k，0）。
當k>0時，不等式kx+b>0的解為：x>-b/k，不等式kx+b<0的解為：x<-b/k；
當k<0的解為：不等式kx+b>0的解為：x<-b/k，不等式kx+b<0的解為：x>-b/k。
與二元一次方程的關係
1、以二元一次方程組ax+by=c的解為坐標的點組成的圖象與一次函式y=（-a/b）x+c/b的圖象相同。
2、二元一次方程組a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2的解可以看作是兩個一次函式y=（-a1/b1）x+c1/d1和y=（-a2/b2）x+c2/d2的圖象的交點。
方法小結
把方程組中的兩個二元一次方程改寫成一次函式的形式，然後作出它們的圖象，找出兩圖像的交點，即可知方程組的解。
區別
二元一次方程有兩個未知數，而一次函式只是說未知數的次數為一次，並未限定幾個變數，因此二元一次方程只是一次函式中的一種。
1、面直角坐標系中分別描繪出以二元一次方程的解為坐標的點，這些點都在相應的一次函式的圖象上。如方程2x+y=5有無數組值，像x=1，y=3；x=2，y=1；…以這些解為坐標的點（1，3），（2，1）…都在一次函式y=-2x+5的圖象上。
2、一次函式圖象上任取一點，它的坐標都適合相應的二元一次方程。如在一次函式y=-x+2的圖象上任取一點（3，-1），則x=3，y=-1一定是二元一次方程x+y=2的一組解。
