基本介紹
簡介,定義,範例,相關概念,求法,枚舉法,短除法,分解質因數,輾轉相除法,更相減損術,求約公式,負約數,定義,例題,
簡介
約數，又稱因數。整數a除以整數b(b≠0) 除得的商正好是整數而沒有餘數，我們就說a能被b整除，或b能整除a。a稱為b的倍數，b稱為a的約數。在大學之前，"約數"一詞所指的一般只限於正約數。約數和倍數都是二元關係的概念，不能孤立地說某個整數是約數或倍數。一個整數的約數是有限的。同時，它可以在特定情況下成為公約數。
定義
範例
在自然數（0和正整數）的範圍內，
任何正整數都是0的約數。
4的正約數有：1、2、4。
6的正約數有：1、2、3、6。
10的正約數有：1、2、5、10。
12的正約數有：1、2、3、4、6、12。
15的正約數有：1、3、5、15。
18的正約數有：1、2、3、6、9、18。
20的正約數有：1、2、4、5、10、20。
注意：一個數的約數必然包括1及其本身。
相關概念
兩個數的公因數中最大的一個，叫做這兩個數的最大公因數。
約數，也叫因數。
求法
枚舉法
枚舉法：將兩個數的因數分別一一列出，從中找出其公因數，再從公因數中找出最大的一個，即為這兩個數的最大公因數。
例：求30與24的最大公因數。
30的正因數有：1,2,3,5,6,10,15,30。
24的正因數有：1,2,3,4,6,8,12,24。
易得其公因數中最大的一個是6，所以30和24的最大公因數是6。
短除法
短除符號就像一個倒過來的除號，短除法就是先寫出要求最大公因數的兩個數A、B，再畫一個短除號，接著在原本寫除數的位置寫兩個數公有的質因數Z（通常從最小的質數開始），然後在短除號的下方寫出這兩個數被Z整除的商a，b，對a，b重複以上步驟，以此類推，直到最後的商互質為止，再把所有的除數相乘，其積即為A，B的最大公因數。（短除法同樣適用於求最低公倍數，只需將其所有除數與最後所得的商相乘即可）
例：求12和18的最大公約數。
解：用短除法，由左圖，易得12和18的最大公約數為2×3=6。
例：求144的所有約數。
解：所有約數（72,2）（36,4）（18,8）（9,16）（3,48）
分解質因數
將需要求最大公因數的兩個數A，B分別分解質因數，再從中找出A、B公有的質因數，把這些公有的質因數相乘，即得A、B的最大公約數。
例：求48和36的最大公因數。
把48和36分別分解質因數：
48=2×2×2×2×3
36=2×2×3×3
其中48和36公有的質因數有2、2、3，所以48和36的最大公因數是 2×2×3=12。
輾轉相除法
（歐幾里得算法）對要求最大公因數的兩個數a、b，設b<a，先用b除a，得a=bq+r1(0≤r1<b）。若r1=0，則（a，b)=b；若r1≠0，則再用r1除b，得b=r1q+r2 (0≤r2<r1）.，若r2=0，則（a，b)=r1，若r2≠0，則繼續用r2除r1……如此循環，直到能整除為止。其最後一個非零餘數即為（a，b）。
這一算法的證明如下：
設兩數為a、b(b<a），用gcd(a,b）表示a，b的最大公約數，r=a mod b 為a除以b以後的餘數，輾轉相除法即是要證明gcd(a,b)=gcd(b,r）。
令c=gcd(a,b），則設a=mc，b=nc，根據前提有r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
由上，可知c也是r的因數，故可以斷定m-kn與n互素【否則，可設m-kn=xd，n=yd，（d>1），則m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，則a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a與b最大公因數成為cd，而非c】
所以 gcd(b,r)=c，繼而gcd(a,b)=gcd(b,r）。
例：求8251和6105的最大公因數。
考慮用較大數除以較小數，求得商和餘數：
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4
最後除數37是148和37的最大公因數，也就是8251與6105的最大公因數。
約數也叫做因數，是因數的另一個稱呼。
更相減損術
更相減損術出自《九章算術》的一種求最大公約數的算法，它原本是為約分而設計的，但它適用於任何需要求最大公約數的場合。其原文為：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。”
翻譯成現代語言就是
第一步：任意給定兩個正整數a、b；判斷它們是否都是偶數。若是，則用2約簡；若不是則執行第二步。
第二步：以較大的數減較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的減數和差相等為止。這個數就是a、b的最大公約數。
例：求98與63的最大公因數。
分析：由於63不是偶數，把98和63以大數減小數，並輾轉相減：
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公約數為7。
註：以上首三個方法同樣適用於求多個自然數的最大公約數
求約公式
一般地，對自然數n進行分解質因數，設n可以分解為
n=p⑴^α⑴·p⑵^α*⑵·…·p(k)^α（k)
其中p⑴、p⑵、…p(k）是不同的質數，α⑴、α⑵、…α（k）
約數個數求法公式是正整數，則形如
n=p⑴^β⑴·p⑵^β*⑵·…·p(k)^β（k)
的數都是n的約數，其中β⑴可取a⑴+1個值：0,1,2，…，α⑴；β⑵可取α⑵+1個值：0,1,2，…，α⑵…；β（k）可取a(k)+1個值：0,1,2，…，α（k).且n的約數也都是上述形式，根據乘法原理，n的約數共有
（α⑴+1）（α⑵+1）…（α（k)+1） ⑺
個。
式⑺即為求一個數約數個數的公式。
負約數
定義
國內課本中，最先提到約數這個概念是在國小，而此時還沒學負數。
等到學了負數，一般要直到大學數學系“初等數論”中才嚴格定義約數，那個時候就包括負約數了。
如果d|a並且d≥0，則我們說d是a的約數。注意，d|a若且唯若（-d)|a，因此定義約數為非負整數不會失去一般性，只要明白a的任何約數的相應負數同樣能整除a。一個整數a的正約數最小為1，最大為|a|。
例題
105的負約數的和是多少？
105的所有負約數就是105的所有正約數的相反數所組成的集合。
105的正約數有1,3,5,7,15,21,35,105
105的負約數有-1,-3,-5,-7,-15,-21,-35,-105
其和為 -（1+3+5+7+15+21+35+105） = ﹣192
