基本介紹
- 中文名：更相減損術
- 類型：數學算術
- 出處：《九章算術》
- 用途：求最大公約數
- 原用途：分數的約分
- 作用：適用任何需要求最大公約數的場合
思想,使用步驟,實例,證明,比較,Stein算法,“可半者半之”,電腦,Basic,C語言,C++,
思想
《九章算術》是中國古代的數學專著，其中的“更相減損術”可以用來求兩個數的最大公約數，原文是：
可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。
白話文譯文：
（如果需要對分數進行約分，那么）可以折半的話，就折半（也就是用2來約分）。如果不可以折半的話，那么就比較分母和分子的大小，用大數減去小數，互相減來減去，一直到減數與差相等為止，用這個相等的數字來約分。
使用步驟
第一步：任意給定兩個正整數；判斷它們是否都是偶數。若是，則用2約簡；若不是則執行第二步。
第二步：以較大的數減較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的減數和差相等為止。
則第一步中約掉的若干個2的積與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。
其中所說的“等數”，就是公約數。求“等數”的辦法是“更相減損”法。
實例
例1、用更相減損術求98與63的最大公約數。
解：由於63不是偶數，把98和63以大數減小數，並輾轉相減：
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公約數等於7。
例2、用更相減損術求260和104的最大公約數。
解：由於260和104均為偶數，首先用2約簡得到130和52，再用2約簡得到65和26。
此時65是奇數而26不是奇數，故把65和26輾轉相減：
65-26=39
39-26=13
26-13=13
所以，260與104的最大公約數等於13乘以第一步中約掉的兩個2，即13*2*2=52。
證明
設gcd(x,y)=d，則滿足x=k1*d，y=k2*d，易得k1⊥k2。
情況1：x=y。顯然，gcd(x,y)=x=gcd(x,0)=gcd(x,y-x)。
情況2：不妨令x<y，所以有k1<k2，所以y'=y-x=(k2-k1)*d。所以應證k1⊥(k2-k1)。
用反證法。
令k3=k2-k1。
假設k1,k3存在公約數m(m>1)，即k2=p2*m，k3=k2-k1=p3*m=(p2-p1)*m。
所以：k1=p1*m，k2=p2*m=(p3+p1)*m且p1⊥(p3+p1)。
要使k1⊥k2，所以m=1，與假設矛盾，所以k1⊥(k2-k1)。
所以原命題得證。
綜上，gcd(x,y)=gcd(x,y-x)。
當然，此結論可用數學歸納法推廣到一般，該性質對多個整數都成立。
即：gcd(x,y,z,...)=gcd(x,y-x,z-y,...)。
直觀證明：
對於gcd(x,y,z)=gcd(x,y-x,z-y)：
gcd(x,y,z)=gcd(x,gcd(y,z))=gcd(x,gcd(y,z-y))=gcd(x,y,z-y)=gcd(gcd(x,y),z-y)=gcd(gcd(x,y-x),z-y)=gcd(x,y-x,z-y)。
更多項依次類推。
比較
輾轉相除法也可以用來求兩個數的最大公約數。
更相減損術和輾轉相除法的主要區別在於前者所使用的運算是“減”，後者是“除”。從算法思想上看，兩者並沒有本質上的區別，但是在計算過程中，如果遇到一個數很大，另一個數比較小的情況，可能要進行很多次減法才能達到一次除法的效果，從而使得算法的時間複雜度退化為O(N)，其中N是原先的兩個數中較大的一個。相比之下，輾轉相除法的時間複雜度穩定於O(logN)。
Stein算法
更相減損法有點類似於求最大公約數的Stein算法。在更相減損法中，若兩個是偶數則同除以2，結果乘以2。如果增加一個判斷，若為一奇一偶則偶數除以2，結果不變，若為兩個奇數才相減，這樣就變成了目前計算大整數最大公約數的非常好的一個算法，Stein算法。
在上面的實例中，下面是更相減損法與Stein算法的比較，從中可以發現兩種算法的相似性。
更相減損法：操作 | 甲數 | 乙數 | Stein算法：操作 | 甲數 | 乙數 |
98 | 63 | 98 | 63 | ||
98-63=35 | 63 | 35 | 98是偶數，除以2 | 49 | 63 |
63-35=28 | 35 | 28 | 都是奇數，63-49=14 | 49 | 14 |
35-28=7 | 28 | 7 | 14是偶數，除以2 | 49 | 7 |
28-7=21 | 7 | 21 | 49-7=42 | 42 | 7 |
21-7=14 | 7 | 14 | 42是偶數，除以2 | 21 | 7 |
14-7=7 | 7 | 7 | 21-7=14 | 14 | 7 |
7-7=0 | 7 | 0 | 14是偶數，除以2 | 7 | 7 |
7-7=0 | 7 | 0 |
“可半者半之”
通常認為，算法描述中的第一步“可半者半之”是指分子分母皆為偶數的時候，首先用2約簡。因為更相減損術原先是專用來約分，所以並不用考慮最後計算結果時，要把第一步中約掉的若干個2再乘回去。加入這一步的原因可能是，分母、分子皆為偶數是在分數加減運算的結果中比較容易遇到的一種情況，用這種方法有可能減少數字的位數，簡化計算。
當然，省略這個以2約簡的步驟，也能得到正確的答案。
電腦
Basic
INPUT "m,n=";m,n
i=0
WHILE m MOD 2=0 AND n MOD 2=0
m=m/2
n=n/2
i=i+1
WEND
DO
IF m<n THEN
r=m
m=n
n=r
END IF
m=m-n
LOOP UNTIL m=0
PRINT “m、n的最大公約數為”;n*2ˆi
END
(黑體部分可以省略，因為，不進行約簡，一樣可以求出）
C語言
#include <stdio.h>
int main()
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
while(a != b)
{
if(a > b)
a -= b;
else
b -= a;
}
printf("m、n的最大公約數為%d",a);
return 0;
}
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
while(a != b)
{
if(a > b)
a -= b;
else
b -= a;
}
printf("m、n的最大公約數為%d",a);
return 0;
}
C++
#include <iostream>using namespace std;int main(){ int a,b; cin>>a>>b; while(a != b) { if(a > b) a -= b; else b -= a; } cout<<a<<endl; return 0; }