K理論（K-Theory）是數學的一個分支學科，是多個領域使用的一個工具。最早於1957年由亞歷山大·格羅滕迪克發現。
基本介紹
- 中文名：K理論
- 外文名：K-Theory
- 所屬學科：數學
簡介,拓撲K理論,早期歷史,後期發展,物理學套用,
簡介
在數學中，K理論是多個領域使用的一個工具。
拓撲K理論
X的拓撲K理論，記為K(X)，是交換半環
的格羅滕迪克環。
早期歷史
最早由亞歷山大·格羅滕迪克1957年發現，名字取自德文“Klasse”，意為“分類”class ，進而表述為格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理。格羅滕迪克需要在代數簇X的層上工作。不是直接在處理層，他給出了兩個構造。首先，他利用直和運算將層的交換么半群轉換成一個群通過取層的分類的形式和以及形式加法逆（這是得到給定函子左伴隨的明確方法）。在第二個構造中，他強加以與層擴張一致的額外關係，得到一個現在記作 的群。這兩個構造都被稱為格羅滕迪克群； 具有上同調錶現而有同調錶現。
如果是一個光滑簇，兩個群是相同的。
在拓撲學中，我們對向量叢有類似的和構造。麥可·阿蒂亞與弗里德里希·希策布魯赫在1959年使用格羅滕迪克群構造來定義拓撲空間的（兩個構造一致）。這是在代數拓撲中發現的第一個奇異上同調理論的基礎。它在指標定理的第二證明中起了巨大的作用。此外，這種途徑導向了 C*代數的非交換理論。
在1955年，讓-皮埃爾·塞爾已經用具有投射模向量叢的類似物來表述塞爾猜想，該猜想聲稱一個域上多項式環上的投射模是自由模；這個論斷是正確的，但知道20年後才解決（斯旺定理是這個類比的另一方面）。1959年，塞爾給出了環的格羅滕迪克群構造，用它來證明投射模是穩定自由的。這個套用是代數K理論之開端。
後期發展
隨後一個時期，出現了各種類型的“高階K理論函子”定義。最後，兩種有用的等價定義由丹尼爾·奎倫在1969年與1972年用同倫理論給出。另一種變體也由弗里德海姆·瓦爾德豪森為了研究“空間的代數K理論”提出，這與偽同痕的研究有關。大多數現代高階K理論研究與代數幾何和主上同調有關。
帶有一個輔助的二次型的相應構造具有一般名字L-理論。它是割補理論的主要工具。
