多項式環

多項式環

抽象代數中,多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個 R 上的多項式環是由係數在R 中的多項式構成的,其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中,當R 為交換環時,多項式環可以被刻劃為交換R-代數範疇中的自由對象

基本介紹

  • 中文名:多項式環
  • 外文名:polynomial ring
  • 定義:由係數在R 中的多項式構成的
  • 套用學科:數學
  • 所屬領域抽象代數
  • 相關術語:多項式函式
定義,形式定義,多項式的運算,環結構,多項式的合成,求值,導數,多變元的情形,性質,數學中的角色,

定義

多項式函式與多項式
在初等數學與微積分中,多項式視同多項式函式,兩者在一般的上則有區別。舉例言之,考慮有限域
上的多項式
此多項式代任何值皆零,故給出零函式,但其形式表法非零。
我們寧願將多項式看作形式的符號組合,以得到較便利的代數理論。且考慮多項式在域擴張之下的性質:就函式觀點,多項式函式在域擴張下的行為頗複雜,上述
給出
上的零函式,但視為
上的多項式函式則非零;而就形式觀點,只須將係數嵌入擴張域即可。

形式定義

於是我們採取下述定義:令R 為。一個單變元X 的多項式 P(X)定義為下述形式化的表法:
其中
屬於R,稱作
係數,而X 視作一個形式符號。兩多項式相等若且唯若每個
的係數均相同。次數最大的非零係數稱為該多項式的領導係數,或者首項係數
更嚴謹的說法或許是將多項式定義為係數的序列
,使得其中僅有有限項非零。但是我們在實踐上總是用變元 X及其冪次表達。

多項式的運算

以下固定環 R,我們將推廣初等數學中熟悉的多項式運算。

環結構

多項式的加法由係數逐項相加定義,而乘法則由下列法則唯一地確定:
分配律:對所有R上的多項式
,恆有
對所有
,有
對所有非負整數
,有
運算的具體表法如下:
當 R 是交換環時,R[X] 是個 R 上的代數

多項式的合成

而Q(X) 為另一多項式,則可定義兩者的合成

求值

對於任一多項式
,我們可考慮 P(X) 對r的求值
固定
,則得到一個環同態
,稱作求值同態;此外它還滿足

導數

微積分中,多項式的微分由微分法則
確定。雖然一般的環上既無拓撲結構更無完備性,我們仍然可形式地定義多項式的導數為:
這種導數依然滿足
等性質。對於係數在域上的多項式,導數也可以判定重根存在與否。

多變元的情形

上述定義可以推廣到任意個變元(包括無限個變元)的情形。對於有限變元的多項式環
,也可以採下述構造:
先考慮兩個變元 X,Y 的例子,我們可以先構造多項式環R[X],其次構造
。可以證明有自然同構
,例如多項式
也可以視作
亦同。超過兩個變元的情形可依此類推。

性質

R,則 R[X] 是主理想環(事實上還是個歐幾里得整環)。
R是唯一分解環,則 R[X] 亦然。
R整環,則 R[X]亦然。
R諾特環,則 R[X] 亦然;這是希爾伯特基底定理的內容。
任一個交換環R上的有限生成代數皆可表成某個
的商環。

數學中的角色

多項式環對理想的商是構造環的重要技術。例子包括從同餘系
構造有限域,或從實數構造複數等等。
弗羅貝尼烏斯多項式是另一個跟多項式環相關的環,此環的乘法系採用多項式的合成而非乘法。

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