多項式分裂域(splitting field of a polynomial )與多項式相關的一種域。
在抽象代數中，具有域中係數的多項式分裂域是該域的最小域延伸，多項式在該域上分裂為線性因子。
基本介紹
- 中文名：多項式分裂域
- 外文名：Splitting field of a polynomial
- 學科：數學
- 套用場合：抽象代數
- 屬性：域的最小域延伸
- 相關名詞：分裂域
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定義
域K上的多項式分裂域
是K的擴展域，其中p因子成為線性因子。
對於每個i我們有
其中
不一定是不同的，並且使得根 在K上產生L。擴展域L是在K上的最小維度的擴展，其中p分裂。 可以看出，這樣的分裂域存在並且是同構的。 這種同構的自由度被稱為p的伽羅瓦群（如果我們假設它是可分離的）。
事實
作為K上的一組多項式p(X)的分裂域的擴展域L被稱為K的正常擴展。
給定包含K的代數閉合域A，在K和A之間有一個第一無二的p的分裂域L，它們是由p的根生成的。如果K是複數的子域，那么它就是存在的。另一方面，代數閉包的存在通常通過從分裂域結果“傳遞到極限”來證明，因此需要獨立的證據來避免循環推理。
給定K的可分離延伸K'，K'的伽羅瓦閉包L是分裂域的一種類型，並且在顯著意義上也是包含K'的K的伽羅瓦擴展。 這樣的伽羅瓦閉包應該包含K的所有多項式p的分裂域。
構建分裂域
目的
從古希臘時代起，尋找多項式的根一直是一個重要問題。 然而，一些多項式，例如實數域上的
，實數域上沒有根。 通過構建這樣的多項式的分裂域，可以在新的域中找到多項式的根。
構建
令F為域，p(X)是維度為n的多項式環中的多項式。 構建K的一般過程是構造一個域F的序列
，使得
是包含p(X)的新根的
的擴展。 由於p(X) 的根最多為n個，所以構建最多需要n個擴展。 構建 的步驟如下：
（1）將 上的p(X) 因式分解為不可約因子
。
（2）選擇任何非線性不可約因子
。
（3）構建 的擴展域
作為商環
，其中(f(X)) 表示由f(X) 生成的
（4）對 重複以上過程直到p(X) 成為完全因子。
商構建中使用的不可約因子
可以任意選擇。 雖然不同的因素選擇可能導致不同的子域序列，但是所得到的分裂域將是同構的。
所以π(X)是f(X) 和p(X) 的根。
單個擴展域
的維度等於不可約因子
的維度。
擴展
的維度由
給出並且最多是n！
域
Ki [X]/(f(X))
如上所述，商環 是當 不可約時的域。 它的元素是形式
其中
在 里
。
剩餘 可以通過多項式的長分割來計算，但是也可以直接計算 的直接還原規則。 首先讓
多項式在一個域上，所以可以使 變為摩尼而不失一般性。 α是 的根，所以
如果產品 具有m≥n的項
，則可以減少如下：
舉例
複數
考慮多項式環
和不可約多項式
。商環
由等式
給出。 因此， 的元素（或等價類）是
的形式，其中a和b屬於R。請注意，由於 ，接下來有
等; 因此，例如
。
加法和乘法運算首先使用普通多項式加法和乘法，然後減少模 ，即使用
如果我們用
識別 ，那么我們看到加法和乘法由下面給出
我們聲稱，作為一個域，商 與複數是同構的。一般複數形式為
，其中a和b是實數，
。 加法和乘法由
相應的，也可以寫成括弧的形式。
以前的計算表明，加法和乘法在 和C中的方式相同。實際上，我們看到 與C之間的映射
是相加和乘法的同態。意味著 是雙射同態，即同構。 因此，如所要求的：
。
在1847年，柯西使用這種方法來定義複數。
立方的例子
令K為有理數域Q並且
。p的每個根等於
倍立方體的單位根。 因此，如果我們表示統一的立方體根：
包含p的兩個不同根的任何域將包含兩個不同的立方體根之間的商。 這樣一個商就是一個原始的立方根，即
或
。 因此，p的分裂域L將包含 ，以及2的真實立方根；相反，包含這些元素的Q的任何擴展都包含p的所有根。 從而
請注意，將上一節中概述的構建過程套用於此示例，從
開始構建該域
。此域不是分裂域，但包含一個（任意）根。然而，多項式
在
上不是不可約的。請注意，X不是不確定的，實際上是 的元素。繼續這個過程，我們得到
這確實是分裂域。
