格羅滕迪克群

格羅滕迪克群為代數K理論中的一種群。

基本介紹

• 中文名：格羅滕迪克群
• 外文名：Grothendieck group
• 所屬學科：代數K理論

定義

設為加性範疇，M為加性範疇的對象的同構類組成的交換么半群。S為從交換么半群範疇到阿貝爾群範疇的函子，s為從M到S(M)的底么半群的么半群同態，滿足對任意阿貝爾群G與么半群同態f:M→G，存在唯一的群同態，滿足。稱S(M)為的格羅滕迪克群。

環的定義

麼環R的格羅滕迪克群K₀(R)為R上有限生成投射模同構類的交換么半群ProjR的格羅滕迪克群。

冪等矩陣定義

則R上一般線性群GL(R)作用在R上冪等矩陣集Idem(R)上的共軛軌道的集合即ProjR，K₀(R)為ProjR的格羅滕迪克群。

向量叢的定義

設X是緊空間，V(X)是X上復向量叢的所有同構類的集合。定義向量叢直和為加法，則V(X)是阿貝爾半群。F(X)為V(X)的元素生成的自由群，E(X)為由滿足[V]+[W]-([V]⨁[W])的元生成的F(X)的子群。則X的K群為

K(X)=F(X)/E(X)。

性質

1. K₀為連續函子，即保持歸納極限。
2. 若R為除環，則ProjR同構於，而K₀(R)同構於。
3. 若R為交換麼環，則K₀(R)對於張量積而言是交換麼環。
4. 環上可數生成投射模同構類的交換么半群的格羅滕迪克群平凡。
5. 對任意正整數n，都有自然同構。
6. K(X)為阿貝爾群。K(X)的元為虛擬叢。