環通過雙模的平凡擴張在代數的眾多分支中扮演著舉足輕重的角色，比如Nagata巧妙地運用這一構造證明了任意交換環上的模可視為交換環中的理想，使得任一關於理想的結果可用模的語言來闡述。
基本介紹
- 中文名：阿貝爾群範疇
- 外文名：Abel group category
設是一個群，是阿貝爾群的充要條件是對任意的a，b∈G有（a*b）*（a*b）=（a*a）*（a*a）
則有圖1定理：
圖1 阿貝爾群範疇
阿貝爾群範疇
相關詞條
- 阿貝爾群範疇
阿貝爾群範疇 環通過雙模的平凡擴張在代數的眾多分支中扮演著舉足輕重的角色，比如Nagata巧妙地運用這一構造證明了任意交換環上的模可視為交換環中的理想，使得任一關於理想的結果可用模的語言來闡述。設是一個群，是阿貝爾群的充要條件是對任意的a，b∈G有（a*b）*（a*b）=（a*a）*（a*a）則有圖1定理：
- 阿貝爾範疇
阿貝爾範疇是一個加性範疇，且滿足以下條件：1.核與余核存在；2.每個單態射都是余核的核、每個滿態射都是核的余核；3.每個態射都可以分解為一個滿態射複合一個單態射。例子 1.阿貝爾群範疇Ab：對象為交換群，態射為群同態；2.模範疇Mod：對象為左R模，態射為模同態。性質 阿貝爾範疇的態射若同時為滿態射與單...
- 阿貝爾規範場論
在數學中，阿貝爾範疇（或稱交換範疇）是一個能對態射與對象取和，而且核與上核存在且滿足一定性質的範疇；最基本的例子是阿貝爾群構成的範疇Ab。阿貝爾範疇是同調代數的基本框架。規範場論 規範場論（Gauge Theory）是基於對稱變換可以局部也可以全局地施行這一思想的一類物理理論。非交換對稱群（又稱非阿貝爾群）的...
- 範疇(數學概念)
阿貝爾群範疇Ab；對象為所有小阿貝爾群，態射為群同態。環範疇Rng，對象為所有小環，態射為(保持單位元的)環同態。CRng，對象為所有小交換環，態射為環同態。左R模範疇R-Mod，對象為環R上的小左模，態射為線性映射。右R模範疇Mod-R，對象為環R上的小右模，態射為線性映射。K-Mod，對象為交換環K上的小模，...
- 準素阿貝爾群
準素阿貝爾群(primary Abelian group)是一種最重要的周期阿貝爾群，準素阿貝爾群的理論是阿貝爾群的一般理論中最豐富和最深人的幾個分支之一。若p是素數，則稱阿貝爾p群為準素阿貝爾群.關於準素阿貝爾群能否分解成循環群的直和問題，有如下的庫里科夫判定法:準素阿貝爾群G可分解成循環群的直和的充分必要條件是，...
- 阿貝爾群層
準素阿貝爾群G的、由階為素數的元素的全體與零元所組成的集合構成G的一個子群，則其為群G的底層；並用G1表示中。準素阿貝爾群G稱為具有限底層的，如果群G的底層G1是一個有限群。具有限底層的準素阿貝爾群，如果它不包含無限高度元素，則它可分解成有限多個循環群的直和，這即為阿貝爾群層的簡單定義。
- 推出(範疇論概念)
1.若C為集範疇Set，則 為b與c的可區分的並，且任意x∈a，fx與gx黏合為同一個點。2.若C為拓撲空間範疇Top，則 為黏著空間，其構造與集範疇類似。上面的一個特例是楔和或一點並；這裡取X與Y為帶基點的空間而Z為 1 點空間。那么將X與Y的基點黏合起來得到的空間，便是推出。3.在阿貝爾群範疇中，推出可以...
- 余積(範疇論概念)
當J為離散範疇{1,2}時，對應的歸納極限為余積圖表。即余積可以視為一種特殊的歸納極限。例子 集範疇Set的余積為集合的可區分的並；拓撲空間範疇Top的余積為拓撲空間的可區分的並；帶基點的空間範疇Top的余積為楔積；阿貝爾群範疇Ab的余積為阿貝爾群的直和；左R模範疇R-Mod的余積為左R模的直和；群範疇Grp...
- 正合函子
則 右正合；若存在任意有限射影極限，左正合。此法可建立許多函子的正合性。設 為拓撲空間，阿貝爾群數學範疇上的整體截面函子 是左正合函子。設 為環，為右 -模，則左 -模範疇上的張量積函子 是右正合函子。設 為兩個阿貝爾範疇，考慮函子範疇，固定一對象 ，對 的“求值”是正合函子。
- 始對象
。舉例分析 例1在集範疇Set中空集∅是始對象但不是終對象，每個單元素集如 是一個終對象而不是始對象，可以證明，它沒有零對象。例2 在群範疇Grp和阿貝爾群範疇Ab中僅含一個元素的群 (當群的複合運算是乘法時是 )既是它們的始對象也是它們的終對象，因而是它們的零對象。在Grp中，平凡群是零對象。
- 平凡群
在數學裡，平凡群是指一個只包含單一元素e的群，其群運算只有e+e=e，單位元素平凡是e，且為阿貝爾群；這些結果都是平凡的，因此以此命名。平凡群通常被寫做Z₁，或盡標示為0。不可把平凡群和空集相混淆，空集中沒有任何元素，因此缺少一個單位元而無法形成一個群，雖然這兩者在其各自的範疇中扮演著極相近的...
- 商對象
例如，以一切集合作對象，以集合映射作態射，則得集合範疇Set(簡稱集範疇)。以一切拓撲空間作對象，以連續映射作態射，則得拓撲空間範疇Top。以一切環為對象，以環同態作為態射得環範疇Ring。類似地，可得群範疇Group，阿貝爾群範疇AG，環R上的左R模範疇M等。以自然數為對象，a|b(表示a整除b)時定義Hom(a，b)...
- 雙積
i₁:a→c，i₂:b→c，且這些態射滿足 p₁i₁=1ₐ，p₂i₂=1，i₁p₁+i₂p₂=1。性質 若A為預加性範疇，則其對象a與b存在雙積，若且唯若存在積，若且唯若存在余積。給定雙積，則為a與b的積，為a與b的余積。例子 在阿貝爾群範疇Ab與左R模範疇R-Mod中，其雙積為直和。
- 加性函子
加性範疇最典型的例子是阿貝爾群範疇AG。在加性範疇中有限個對象必有積；加性範疇的對偶範疇仍為加性範疇；加性範疇中態射f為單態射的充分必要條件是kerf=0，f為滿態射的充分必要條件是coker f=0。範疇論 代數學的一個重要分支。數學的各個領域都有各自的研究對象。例如，集合論研究集合與映射；線性代數研究線性...
- 交換環皮卡群
'，即Pic R可看做Ko (R)環的可逆元乘法群的子群.因此，若Ko(R)=Z(整數環)，則Pic R{士1}或{1}.於是，對PID主理想整環上的多項式環、域上的冪級數環、交換局部環、比左環等，由於它們的K。群均同構於之，所以它們的皮卡群必同構於{士1}或{1}.稱Pic為交換環範疇到阿貝爾群範疇的(共變)函子.
- 單純集合
範疇 C 中的一個單純對象 X 是一個反變函子 X: Δ → C 或等價地共變函子：X: Δop → C 當 C 是集合範疇，我們討論的就是單純集合。設 C 是群範疇或阿貝爾群範疇，我們分別得到單純群範疇和單純阿貝爾群範疇。單純群與單純阿貝爾群也帶有由底單純集合誘導的閉模型結構。單純阿貝爾群的同倫群可由都德-...
- 代數群
若代數群G的簇結構是仿射的，則稱G為仿射代數群或線性代數群。採用後一術語的理由是，這種群都同構於某個GL(n，K)的閉子群.若G的簇結構是完備的，則稱G為阿貝爾簇。阿貝爾簇的群結構很簡單(都是阿貝爾群)，且被簇結構惟一決定，因此它的研究屬於代數幾何學的範疇。另一方面，對任意代數群G，總可以惟一地找到...
- 左R模
m r(m+m’)=rm+rm’與右R模的關係 當R為交換環時，左R模與右R模一致。範疇論 設R為（小）環，則對任何（小）阿貝爾群A，定義 TA= A→TA為 T²A→TA為 則定義阿貝爾群範疇Ab上的一個單子，則T代數為左R模。公布時間 1993年，經全國科學技術名詞審定委員會審定發布。出處 《數學名詞》第一版。
- 函子
是完全忠實函子的充要條件是 是範疇的等價，其中 表示 中由 的像生成的滿子範疇。6)保守函子：使得 為同構若且唯若 為同構的函子。7)加性函子：指預加性範疇（或加性範疇）中保存同態集（以及雙積）的阿貝爾群結構的函子。8)伴隨函子：滿足下述條件時稱為一對伴隨函子：。
- 雙態射
雙態射 雙態射是一個數學術語。雙態射(bimorphism)集合範疇中雙射概念的推廣.在範疇中同時為單態射與滿態射的態射稱為雙態射.換言之，雙態射即滿足左可消與右可消的態射.在群範疇與阿貝爾群範疇等範疇中，雙態射就是滿單同態(同構).單位態射一定是雙態射，但反之一般不真.在阿貝爾範疇中雙態射即單位態射.
- 正合序列
在數學中，正合序列、正合列或譯作恰當序列於同調代數中居於核心地位，其中特別重要的一類是短正合序列。定義 一個由某類適宜的範疇（例如阿貝爾群、向量空間或模，詳如後述）中的對象與態射構成的序列 被稱作在 處正合，若且唯若 一般而言，該範疇中的序列 被稱作是正合的，若且唯若它在 、 、 處...
- 艾倫伯格-斯廷羅德公理
在數學的代數拓撲學中，艾倫伯格－斯廷羅德公理（Eilenberg–Steenrod axioms）是拓撲空間的同調論的共有性質。符合這套公理的同調論的典型例子，是由塞繆爾·艾倫伯格和諾曼·斯廷羅德建立的奇異同調。正式定義 艾倫伯格－斯廷羅德公理用於從拓撲空間偶(X, A)範疇到阿貝爾群範疇的函子列 ，連同稱為邊界映射的自然變換 ...
- 二元函子
-):C→Set如下：Hom(A，-)(X)=Hom(A，X) (X∈C)，Hom(A，-)(f)：Hom(A，X)→Hom(A，Y)，使Hom(A，-)(f)(g)=fg，f：X→Y在C中，g∈Hom(A，X)。這個Hom(A，-)稱為範疇C到Set的Hom函子。當C為加性範疇時，這個函子又是C到阿貝爾群範疇AG的函子，在同調代數中更顯出其重要性。
