二元函子

二元函子

二元函子(bifunctor)是範疇論以及同調代數代數幾何等學科中常用的函子。若C1,C2,C為三個範疇,則從C1,C2積範疇C1∏C2到C的函子稱為二元函子,同調代數中最重要的Hom函子等都是二元函子。

基本介紹

  • 中文名:二元函子
  • 外文名:bifunctor
  • 所屬學科範疇論
  • 相關概念:同調代數、積範疇、函子等
  • 定義:範疇論以及同調代數、代數幾何等學科中常用的函子
定義,簡介,積範疇與二元函子,正合二元函子,範疇論的Hom函子,

定義

給定積範疇B×C與範疇D,則函子S:B×C→D稱為B與C上的二元函子

簡介

二元函子(bifunctor)是範疇論以及同調代數、代數幾何等學科中常用的函子。若C1,C2,C為三個範疇,則從C1,C2的積範疇C1∏C2到C的函子稱為二元函子,同調代數中最重要的Hom函子
函子等都是二元函子。

積範疇與二元函子

設C與D是兩個範疇,作範疇C×D如下:ob(C×D)=ob(C)×ob(D),其中對象寫作(A,B),A∈obC,B∈obD,對(A,B)∈ob(C×D),A',B'∈ob(C×D),規定HomC×D((A,B),(A',B'))=HomC(A,A')×HomD(B,B'),態射合成定義為(g,g')(f,f')=(gf,g'f'),恆等態射1(A,B)=(1A,1B)。易驗證C×D也是範疇,稱之為範疇C與D的積範疇
設F:C×D→E是乘積範疇到範疇E的函式,它對每個(A,B)∈ob(C×D),給出F(A,B)∈obE,把C×D中的態射(f,g)變成E中的態射F(f,g),並且任意給定A∈obC,則F(A,-):D→E是函子(或逆變函子);任意給定B∈obD,也使F(-,B):C→E是函子(或逆變函子),則稱F是二元函子

正合二元函子

正合函子是阿貝爾範疇間的一種重要的函子,即保持短正合列的函子。設F:C→D為阿貝爾範疇間的一個共變函子,若對C中任意的正合列
是D中的正合列,則稱F為左正合函子,若對C中任意的正合列
是D中的正合列,則稱F為右正合函子,同時為左正合與右正合的函子稱為正合函子。對偶地,可定義反變函子的左、右正合性與正合性,若F為左(右)正合函子,則F變單(滿)態射為單(滿)態射且對任意的態射β,
左、右正合函子一定是加性函子
在同調代數的基本函子中(M表R模),Hom(M,-)為左正合函子(它正合的充分必要條件是M為投射R模);Hom(-,M)為左正合反變函子(它正合的充分必要條件是M為內射R模);M
-與-
N(M為右R模,N為左R模)都是右正合函子(它們正合的充分必要條件是M(N)為平坦R模);阿貝爾範疇中正向極限函子
(反向極限函子
)為右(左)正合函子。對二元函子F,若F關於它的兩個變元都是正合的(或左正合的、右正合的),則稱F為正合的(或左正合的、右正合的)二元函子。

範疇論的Hom函子

範疇論的Hom函子(functor Hom in Category theory)亦稱共變態射函子或第一表示函子,範疇論中的重要函子之一,在同調代數中有著重要套用。設C為一個範疇,Set為集合範疇,對
定義函子HomC(A,-):C→Set如下:
HomC(A,-)(X)=HomC(A,X) (
X∈C),
HomC(A,-)(f):HomC(A,X)→HomC(A,Y),
使HomC(A,-)(f)(g)=fg,
f:X→Y在C中,g∈HomC(A,X)。這個HomC(A,-)稱為範疇C到Set的Hom函子。當C為加性範疇時,這個函子又是C到阿貝爾群範疇AG的函子,在同調代數中更顯出其重要性。

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