等價範疇，即範疇的等價。在數學的一個抽象分支範疇論中，範疇的等價（equivalence of categories）是兩個範疇間的一個關係，在這種關係之下的範疇是“本質上一樣的”。從數學的許多地方都有範疇等價的例子。
基本介紹
- 中文名：等價範疇
- 外文名：equivalent categories
- 所屬學科：範疇論
- 別名：範疇的等價
簡介,定義,等價的刻畫,例子,性質,
簡介
在數學的一個抽象分支範疇論中，範疇的等價（equivalence of categories）是兩個範疇間的一個關係，在這種關係之下的範疇是“本質上一樣的”。從數學的許多地方都有範疇等價的例子。建立一個等價涉及展示所考慮的數學結構間很強的相似性。
如果一個範疇等價於另一個範疇的反範疇，則我們說“範疇的對偶性”，以及這兩個範疇對偶等價。範疇的等價由所涉範疇的一個函子組成，這個函子要求有一個“逆”函子。但與通常代數語境的同構不同，這個函子與它的逆不必是恆等映射，二隻要每個對象自然同構於在此符合函子下的像。從而我們可以說這個函子是差一個同構下的逆。這實際上是範疇的同構的概念，其中要求逆函子的嚴格性質，但這比“等價”概念用得要少。
定義
給定兩個範疇C與D，一個範疇等價包括函子F:C→D，函子G:D→C，以及兩個自然同構 ε:FG→ID與 η:IC→GF。這裡FG:D→D與GF:C→C分別為F與G的複合，而IC:C→C與ID:D→D分別為C與D的單位函子。如果F與G是反變函子我們則說範疇的對偶。
通常我們不指出如上所有數據。例如，我們說範疇C與D是等價的（對偶等價）如果它們之間存在一個等價（對偶等價）。進一步，我們說F是一個範疇的等價如果如上逆函子G以及自然同構存在。但要注意F所具有的信息不足以構造G以及自然同構：存在許多不同的選擇（見下面的例子）。
等價的刻畫
可以證明函子F:C→D給出範疇的等價若且唯若它是：
- 本質滿，即D中每個對象d同構與某個形如Fc的對象。
這是一個相當有效和常用的判別法，因為不必真正構造出逆G以及FG，G'與恆同函子之間的自然同構。另一方面，儘管上面性質保證了範疇等價的存在性（假定背景集合論具有一個足夠強的選擇公理），缺少的數據沒有完全確定，通常有許多選擇。只要可能，給出缺少的構造是個好主意。正因為如此，具有這些性質的函子有時叫做範疇的弱等價（不幸地是這個術語與同倫論衝突）。
它與伴隨函子概念也有緊密聯繫。如下論斷對函子F:C→D與G:D→C等價:
- 存在從FG到ID與從IC到GF的自然同構，分別叫做余單位與單位。
- F是G的一個左伴隨且兩個函子都完全且忠實。
- F是G的一個右伴隨且兩個函子都完全且忠實。
從而我們可以將兩個函子之間的伴隨關係視為“非常弱的等價”。假設伴隨的自然變化已經給定，所有這些確保了一個明確的構造，且不需要選擇原理。關鍵性質是需要證明伴隨的余單位是同構若且唯若右伴隨是完全且忠實的函子。
例子
考慮範疇
只有一個對象
以及一個態射
，以及範疇
具有兩個對象
，
以及四個態射：兩個恆同態射
，
以及兩個態射
與
。範疇與是等價的；我們可以（權為一例）構造
將映為與
將的兩個對象映為以及所有態射映為。
相比之下，只有一個對象與一個態射的範疇與具有兩個對象與兩個恆同態射從而這兩個對象不同構的範疇
不等價。
考慮一個範疇，有一個對象，以及兩個態射
。令為的恆同映射，設
。當然等價於自己，在所有需要自然同構的地方可以取，便給出函子
與自己自然同構。但是
同樣給出到自己的一個自然同構，儘管恆同函子是一個範疇同構，在這個例子中我們仍然可以選取每個方向的自然同構。
考慮有限維實向量空間範疇，以及所有實矩陣範疇
（後一二範疇在加性範疇中有解釋）。則與是等價的：函子
將中每個對象
映為向量空間
，而中矩陣到對應線性映射是完全、忠實且本質滿的。
在格理論中，有不少對偶，基於將某些格類與拓撲空間類聯繫起來的表示定理。可能最有名的這類定理是布爾代數的斯通表示定理，這是一般概念斯通對偶性的特例。每個布爾代數
映為的超濾子集合上的一個特定的拓撲。反之，任何開閉子集上的拓撲給出一個布爾代數。我們得到了布爾代數（與他們的同態）範疇與斯通空間（與光滑映射）。斯通對偶性的另一種情形是伯克霍夫表示定理指出有限偏序與有限分布格之間的對偶性。
在無點拓撲學中，空間局部（spatial locale）範疇等價於樸素空間（sober space）的對偶。
性質
大概說來，一個範疇等價保持所有範疇性概念與性質。如果F:C→D是一個等價，則如下論斷都成立：
對偶性將所有概念對換過來：它們將始對象變成終對象，單態射變成滿態射，核變成余核，投射極限變成歸納極限，等等。
如果F:C→D是一個範疇等價，而G1與G2是兩個逆，則G1與G2是自然同構的。
