投射極限

投射極限是範疇論的一個概念。

基本介紹

• 中文名：投射極限
• 外文名：projective limit
  inverse limit
  limit
• 所屬學科：範疇論
• 別名：反極限、極限

定義

設C與J為範疇，Δ:C→C為對角函子，F:J→C為C中的對象。則從Δ到F的泛態射<LimF,v:ΔLimF→F>稱為F的投射極限。

其中LimF稱為極限對象，v稱為極限錐。

圖表

通常，最感興趣的情況是當類型J為小範疇或有限範疇之時，此類圖示分別被稱為“小圖表”及“有限圖表”。

極限

設F:J→C為一個在範疇C中類型J的圖表。一個對應於F的錐是指C中的一對象N，具有可以J內之對象X索引的態射族 ψ_X:N→F(X)，使得對每個J內的態射f:X→Y，均有F(f)oψ_X= ψ_Y。

圖示F:J→C的極限是一個對應於F的錐(L,φ)，使得對所有其他對應於F之錐體 (N,ψ)，總存在一個“唯一的”態射u:N→L，使得對所有J中的X，φ_Xou= ψ_X。

極限

可以說，錐(N,ψ) 能被唯一的因子u分解成錐(L,φ)。此一態射u有時稱為“中介態射”。

極限亦稱之為“泛錐”，因為其所具有之泛性質。如同每個泛性質一般，上述定義敘述了一個有關一般性的對稱狀態：極限對象L夠一般，能讓所有其他錐分解；另一方面，L也必須夠特殊，每個錐都只可能有“一個”因子。

極限也可視為是在對應於F的錐範疇內的終對象。

圖表可能不存在極限；但若一個圖表存在極限，則此一極限一定在同構下是唯一的。