伴隨函子是範疇論的基本概念之一。它在同調代數等學科中有著重要套用。
基本介紹
- 中文名：伴隨函子
- 外文名：adjoint functor
- 所屬學科：範疇論
- 別名：相伴函子
- 定義：範疇論的基本概念之一
定義,性質,簡介,等價定義,重要例子,
定義
設A與X為範疇。從X到A的伴隨對為三元組<F,G,φ>:X→A。其中F:X→A與G:A→X為函子，函式φ在給定X中對象x與A中對象a後給出雙射φx,a:A(Fx,a)=X(x,Ga)，且φ(·,·):A(F·,·)=X(·,G·)對兩個變數均自然。
則F稱為G的左伴隨函子，G稱為F的右伴隨函子。
性質
函子G:A→X的任意兩個左伴隨函子F與F'為自然同構。
函子G:A→X有左伴隨函子，若且唯若函子X(x,G·)為可表示函子。
加性函子的伴隨函子為加性函子。
簡介
在數學研究中，人們往往通過不同的方法來比較所研究的數學對象，例如在範疇論中，利用同構和等價來刻劃兩個研究對象是相同和等價的，然而同構和等價都是比較強的條件，伴隨函子是用更弱的條件來研究對象之間的關係。伴隨函子的概念最先是由坎(Kan, D.M.)於1958年提出來的，此後伴隨函子理論被廣泛套用於範疇、環與模論等研究領域，正如Saunders Mac Lane宣稱的那樣：伴隨函子無處不在，現在它已成為代數學的重要概念及工具之一。
等價定義
單位泛態射形式定義
給定兩個函子F：C→D與G:D→C，自然變換η:1c→GF。FG稱為伴隨對，若對任意C∈C，D∈D，f:C→GD，存在惟一的g:FC→D，使得f=G(g)ηc。即
類似的，可以定義余單位泛態射來定義伴隨。
余單位泛態射形式定義
給定兩個函子F：C→D與G:D→C，自然變換δ:FG→1D。FG稱為伴隨對，若對任意C∈C，D∈D，g:FC→D，存在惟一的f:C→GD，使得g=δDF(f)。即
單位余單位形式定義
給定兩個函子F：C→D與G:D→C，兩個自然變換η:1c→GF，δ:FG→1D。FG稱為伴隨對，若對任意C∈C，D∈D，有下面的交換圖
即δF·Fη=1F，Gδ·ηG=1G。
Hom-Set形式定義
兩個函子F：C→D與G：D→C稱為伴隨對，若每對對象(C，D)，其中C∈C，D∈D，存在一個同構
ψ=ψC,D：D(FC,D)≅C(C,GD)。
注1：HomD(FC，D)常簡記為D(FC，D)=(FC，D)D=(FC,D)。
注2：ψ是雙射，且在C,D處是自然的，所以HomD(FC,D)事實上是一個雙函子，對所有的f:C″→C,g:D→D′，有下面兩個交換圖(*)
重要例子
伴隨函子在範疇論與表示論中有著廣泛套用，如單子余單子、Recollement等概念都是由伴隨函子給出的，下面是關於伴隨函子的一個重要例子。設B∈SMR，B⊗R-是RM到SM張量函子，HomS(B,-)是SM到RMHom函子ψ:HomS(B⊗RA,C)→HomR(A,HomS(B,C))是同構態射，並且對任意α∈Hom(A,A′)，γ∈Hom(A,A′)，有交換圖
因此，(B⊗R-，HomS(B,-))是一對伴隨函子。
以下為左伴隨函子的一些例子
