模糊集上的序與拓撲理論

《模糊集上的序與拓撲理論》是依託四川大學，由賴洪亮擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：模糊集上的序與拓撲理論
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：賴洪亮
• 依託單位：四川大學

項目摘要

本項目主要研究以模糊集合作為承載集的多值序與多值拓撲理論。首先，在模糊集合的邏輯值域為一個交換的有單位元的quantale的情況下，以模糊集合為承載集的多值序結構等價於quantaloid上的強化範疇。因此，可以借用quantaloid上的強化範疇理論為我們研究序結構理論開闢新途徑。其次，由於經典集合上的模糊序結構理論可以用於討論經典集合上的多值拓撲，我們希望模糊集合上的多值序也可以用於討論模糊集合上的多值拓撲。一個自然的想法是研究模糊集合的冪集及其序結構，然後在模糊集合上引入拓撲結構，建立模糊集上的拓撲理論。

結題摘要

本項目主要研究模糊集合上的序結構和拓撲結構. 由於模糊集合上的序結構實際上是一種特殊的強化範疇, 我們採用了強化範疇的基本理論和方法作為研究的出發點, 取得了一系列的成果, 完成了大部分研究任務. 首先, 我們改進推廣了從一個quantale出發構造一個quantaloid的方法. 按照這樣的構造方法, 使得模糊集合上的序結構恰好就是對應的quantaloid上的強化範疇. 其次, 在序結構理論方面, 主要研究了兩個方面的內容. 其一是模糊集合上的模糊序整體化之後得到分明集合上的模糊序, 該過程是一個函子, 它保持某些類型的余完備性, 包括標準的余完備性, tensor余完備性, Cauchy完備性和Flat余完備性. 同時還證明了整體化函子不保持錐形余完備性.該部分研究表明, 模糊集合上序結構的一些類型的余完備性與分明集合上的序結構的相應類型的余完備性緊密相關. 其二是一些特殊類型的模糊序構成的範疇的Cartesian閉性. 我們先從比較簡單的情形入手, 即所有元素都是global的模糊偏序集. 這實際上是分明集上的模糊序. 但這種情形已經遠比經典的偏序集複雜. 由於quantale上的邏輯合取運算不必是冪等的, 導致所有分明集合上的模糊序構成的範疇不必是Cartesian閉的. 這為進一步的研究帶來困難. 我們轉而研究了liminf完備的模糊偏序集構成的範疇是monoidal閉的. 另外, 證明了在取單位區間上的連續三角模的時候, 該範疇是Cartesian閉的若且唯若三角模是冪等的. 最後, 在模糊拓撲理論方面, 利用強化範疇中的基底變換方法, 構造了分明集合上的模糊拓撲範疇和模糊集合上的模糊拓撲範疇之間的一對伴隨函子, 使得前者可以作為余反射的滿子範疇嵌入到後者之中.