模糊序及其套用

《模糊序及其套用》是依託四川大學，由張德學擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：模糊序及其套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：張德學
• 依託單位：四川大學

項目摘要

序是最基本的數學結構之一。利用分明集上的模糊關係，人們已經建立了較為完善的分明集上的模糊序理論。模糊序在模糊集的理論和套用研究中都有十分重要的套用。但是，由於模糊集結構的複雜性，模糊集上模糊序的研究沒有取得滿意的進展，仍處於起步階段。本項目旨在利用範疇論方法對模糊集上的序結構進行深入研究，建立系統的模糊集上的序結構理論，並把它套用到模糊集上的模糊拓撲、模糊形式概念分析、模糊粗糙集的研究之中。本項目的完成將深化我們對模糊集的數學結構以及它與其它數學分支之間的內在聯繫的認識，為模糊集的數學研究的發展做出貢獻。

結題摘要

本項目從強化範疇的角度對模糊序以及它在approach空間，多值拓撲空間等數學理論中的套用展開了研究。所獲結果反映了模糊序，模糊拓撲的性質與真值表的邏輯結構之間的深刻聯繫，這種聯繫是模糊集數學理論的重要特點和重要組成部分，也是本項目的特色。 (1) 深入研究了Q-範疇的性質。首先，證明了完備的Q-範疇，完全分配的Q-範疇和Q-冪集分別是集合範疇的某切片範疇上三個monad 的Eilenberg-Moore代數。其次，在Q-分配子之間引入了兩類自然的態射：Chu聯絡與反對角線，並證明了由完備Q-範疇和左伴函子構成的範疇對偶等價於由Q-分配子和反對角線構成的範疇。 (2) 研究了模糊序的定向完備性。首先，證明了若真值表是單位閉區間賦予一個左連續三角模，則Yoneda完備的模糊偏序集(fuzzy ordered sets)和Yoneda連續映射構成的範疇monoidal閉若且唯若所涉三角模連續；笛卡爾閉若且唯若所涉三角模是取小模。其次，證明了對任意連續三角模，序模糊集(ordered fuzzy sets)的flat完備性蘊涵Yoneda完備性，反過來的蘊涵成立若且唯若所涉三角模是阿基米德三角模。 (3) 證明了一個廣義度量空間 X 生成的approach空間是sober空間若且唯若 X 是Smyth完備的廣義度量空間，解決了approach空間理論中的一個基本問題。 (4) 把模糊序套用到了模糊拓撲的研究之中。首先，利用模糊集之間的模糊包含序引入了CNS空間(conical neighborhood space)的概念，解決了模糊拓撲中由分明點的鄰域系確定拓撲結構這一基本問題。其次，引入了不可約模糊下集的概念，在此基礎上研究了多值余拓撲空間的sober性。 (5) 給出了對稱差運算元的結構描述，並由此得到了兩個函式方程滿足一定條件的全部解，從而部分解決了Alsina, Frank, Schweizer等2003年提出的一個公開問題。