《Domain與Quantale理論中的拓撲結構以及模糊集方法的套用》是依託陝西師範大學，由汪開雲擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Domain與Quantale理論中的拓撲結構以及模糊集方法的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：汪開雲
- 依託單位：陝西師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目的主要目的是研究Domain與Quantale理論中的拓撲結構以及模糊集方法的套用。首先，解決Scott拓撲和Scott閉集格的相關問題，研究偏Dcpo上的拓撲結構及其套用。其次，建立和刻畫模糊偏序集的模糊Dcpo完備化，證明某些模糊Domain範疇是笛卡爾閉的；通過模糊Domain理論給出內射的L-To空間的具體刻畫，進而給出有內射殼的L-To空間的刻畫；利用模糊Domain理論探討良緊性的優越性，在此基礎上建立模糊Domain理論中的Hofmann-Mislove定理。再次，給出Girard quantale中循環對偶元唯一的充要條件，利用Z-Quantale上的拓撲結構來討論Z-Quantale的一些性質。最後，從拓撲和範疇方面研究模糊Quantale的性質，進一步發展模糊Quantale理論。
結題摘要
關於計算機科學的數學基礎研究日益受到人們的重視，已成為數學和理論計算機科學研究者共同關注的領域。產生於上世紀70年代初的Domain理論和80年代的Quantale理論正是這樣的兩個重要交叉領域，儘管它們各自獨立發展，但二者都具有豐富的序結構、拓撲結構和代數結構。本項目主要研究Domain與Quantale理論中的拓撲結構以及模糊集方法的套用。在Domain理論中，研究了偏序集範疇、Dcpo範疇、局部Dcpo範疇之間的伴隨關係，給出了局部Dcpo上自由S-ldcpo與余自由S-ldcpo的具體形式(S是局部Dcpo monoid)。關於Domain中的拓撲結構，證明了一個To空間是K-有界Sober C-空間若且唯若它同胚於一個連續偏序集的Scott空間，構造了一個反例說明KB(X)(X在專門化序下上確界存在的不可約閉集的全體)通常不是To空間X的K-有界Sober化。在模糊Domain理論中，證明了模糊連續格範疇是預連續的模糊偏序集範疇的反射滿子範疇。在Quantale結構及其推廣方面，系統的討論了Quantale與m-半格中的粗糙性和模糊性。通過Quantale中的左準對稱元給出了最大左半可換商的刻畫，證明了左半可換Quantale範疇是Quantale範疇的反射子範疇。研究了Z-Quantale上的核映射、商、同餘之間的關係，證明了Quantale範疇是Z-Quantale範疇的反射子範疇。關於模糊Quantale，證明了交換環的模糊理想之集帶上合適的運算構成[0,1]-quantale。引入了模糊量子空間的概念，證明了Sober模糊量子空間範疇對偶等價於空間式雙邊模糊Quantale範疇。由於模糊Quantale範疇同構於Quantale代數範疇，從而證明了模糊Frame範疇是強模糊Quantale範疇的反射滿子範疇。關於Quantale代數的嵌入問題，證明了每一個Quantale代數都可以嵌入到Girard quantale代數中。同時，利用Quantale代數上的核映射，給出了Girard quantale代數的表示定理。Domain與Quantale理論本身作為格上拓撲學的重要分支，有較大的理論研究價值和較好的套用前景，對它們中的拓撲結構以及模糊集方法的套用研究必將進一步推動Domain和Quantale理論的深入發展。
