可表示函子

可表示函子

可表示函子,兩範疇間的一類特殊函子,有泛元素的函子。

基本介紹

  • 中文名:可表示函子
  • 外文名:representable functor
  • 所屬學科範疇論
  • 類別:範疇論概念
定義,性質,反變定義,反變函子,函子範疇,

定義

設D有小態射集。則函子K:D→Set的表示為對<r,ψ>,其中r為D的對象,ψ:D(r,-)
K為自然同構。r稱為表示對象,若K存在表示,則K稱為可表示函子

性質

在同構意義下,可表示函子就是共變Hom函子D(r,-)。

反變定義

給定範疇𝑪以及從𝑪到集合範疇𝔖的反變函子𝐹。對𝑪中對象A,定義
,那么
是從𝑪到𝔖的反變函子。若𝐹自然等價於
,相應的有𝔖中同構
,令
,則稱𝐹由(A,Ψ)表示,𝐹為可表示函子。

反變函子

[contravariant functor]
給定範疇𝑪和𝑫以及對應F:𝑪→𝑫,如果𝑪中任意對象A對應𝑫的對象F(A),𝑪中的任意態射f:A→B 對應D中態射F(f):F(B)→F(A),並且滿足
,那么F稱為從𝑪到𝑫的反變函子。

函子範疇

[category functor]
給定範疇𝑪和𝑫,這裡𝑪是小範疇(即𝑪的對象是一個集合)。所有從𝑪到𝑫的函子及函子之間的自然變換組成函子範疇[𝑪到𝑫]。

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