對偶群

若G是局部緊緻阿貝爾群，G的特徵標是一個從G到圓群T的連續群同態；特徵標在逐點乘法下構成一個群，一個特徵標的逆元是它的復共軛。可證明所有G上的特徵標在緊緻開拓撲（即：以緊集上的一致收斂定義收斂性）下構成一個局部緊緻阿貝爾群，稱作對偶群。

基本介紹

• 中文名：對偶群
• 領域：數理科學
• 相關套用：拓撲群

定義

若 是局部緊緻阿貝爾群， 的特徵標是一個從 到圓群 的連續群同態；特徵標在逐點乘法下構成一個群，一個特徵標的逆元是它的復共軛。可證明所有 上的特徵標在緊緻開拓撲（即：以緊集上的一致收斂定義收斂性）下構成一個局部緊緻阿貝爾群，稱作對偶群，記為 或 。若 可分，則 可度量化，對一般的 則不盡然。

這可用線性代數中的對偶空間來類比，就像一個布於 的向量空間 有對偶空間 ，對偶群可看成 。更抽象的說，這兩者都是可表函子，被 及 所表示。

定理：二次對偶 與 有個自然同構。

在此，“自然”或“典範”同構意謂一個“自然地”定義的映射 ，要點是它在範疇中滿足函子性（詳見條目範疇論）。舉例明之：任何有限阿貝爾群都同構於其對偶群，但並不存在典範同構。

定理中的自然同構定義如下：

換言之，我們借著將一個元素 在每個的特徵上求值，得到一個 上的特徵。

例子

在整數對加法形成的無窮循環群 （配上離散拓撲）上，設 為一特徵，則 ，因此 決定於 的值；反之，給定一個，必存在特徵 使得 ，由此得到群同構群同構 。此外也容易驗證 上的緊-開拓撲對應到 誘導自 的拓撲。

因此， 的對偶群自然地同構於 。

反之， 上的特徵皆形如 ，其中n是整數。由於 是緊的，其對偶群上的拓撲由一致收斂性給出，對應的不外是 上的離散拓撲。因此 的對偶群自然地同構於 。

實數對加法構成的群 同構於自身的對偶群； 上的特徵皆形如 ，其中 是實數。借著這些對偶性，下節描述的傅立葉變換將符應於 上的古典版本

擴展

對偶群與對偶函子：

函子的觀點對於研究對偶群是很有用的。以下將以LCA表示所有局部緊阿貝爾群及其間的連續群同態構成之範疇。

對偶群的構造 給出一個對偶函子 ，其二次疊代 遂給出對偶函子： 。

定理：對偶函子是一個範疇等價。

定理：對偶函子的二次疊代自然同構於LCA上的恆等函子。