《單態射範疇及其在代數和幾何中的套用》是依託上海交通大學，由章璞擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：單態射範疇及其在代數和幾何中的套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：章璞
- 依託單位：上海交通大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
最近研究表明子模範疇可描述G-投射模和奇點。對有向圖Q和範疇C，本項目擬系統研究一般的單態射範疇Mon(Q,C)及其在代數和幾何中的套用。當C取代數A的模範疇且Q取A_2型圖時，它就是子模範疇；一般地它是Q的路代數與A的張量代數的模範疇的一個性質奇特的全子範疇。.本項目擬研究單態射範疇的函子有限性、Frobenius性、相對AR理論、和其對稱拆合；利用它和其它條件確定相應的張量代數的G-投射模；通過它的穩定三角範疇描述相應代數的奇點及其類型、範疇化消解或形式消解奇點；由單態射範疇構造分數維數的Calabi-Yau範疇；建立模穩定範疇、G-投射模穩定範疇和G-穩定範疇以及3種穩定等價之間的關係。.這些研究對進一步揭示G-同調代數、表示論、奇點理論、穩定三角和CY範疇之間的聯繫，具有重要科學意義。由於單態射範疇的明確可構性，這些聯繫為在相關方向取得新成果，將提供獨特視野和有力工具。
結題摘要
本項目完成20篇論文(16篇已發表或接受發表)，出版著作2部。據不完全統計已有50餘次SCI他引，包括本領域知名數學家。項目負責人數次應邀在國際學術會議做大會報告，3次在國家基金委數學天元基金會全國研究生暑期學校主講代數學。博士生在項目中成長。對人才培養起到作用。17人次國外專家來華合作交流，其中Claus Ringel是本項目參加者，17個月在華工作,任上海交大訪問講席教授。項目負責人任國際純粹與套用數學中心委員；《Sci. China Math.》,《FJMS》, 《ISRN Algebra》等編委。本項目科學成果簡述如下。 引入單態射表示；證明它有AR序列並具Frobenius結構；完全描述相應張量代數上Gorenstein投射模。發現單運算元和垂直運算元之間的互反律。獲得S(A，n) 的相對AR平移公式；得到一類新的Calabi-Yau範疇。並在帶關係理想和雙模的情形推廣上述工作。 引入相容雙模，據此完全確定三角矩陣代數的Gorenstein投射模；引入對稱recollement，得到一類奇點範疇的對稱recollement。該文被列為J. Algebra 2013全年Top 25 Hottest Articles 第4。引入 perfect 微分模，建立了Q的路代數與對偶數代數張量積上不可分解非投射Gorenstein 投射模與 Q 的不可分解表示之間的1-1對應。 發現對象的函子；並用可裂單態射進行刻畫。據此Vidier函子和滿三角函子均是對象的函子。歷經18年項目負責人完成《三角範疇和導出範疇》，作為《現代數學基礎叢書155卷》 由科學出版社2015年出版，2016年已第2次印刷。 在更廣意義下得到Gorenstein範疇的穩定性;證明了CM 有限代數相對Auslander代數是CM 自由的; CM 有限代數的 Gorenstein 虧格範疇等價於其相對Auslander 代數的奇點範疇。 通過Morita 環的導出範疇說明CPS關於三角範疇recollement等價的定理對左recollements不成立；同時給出成立的充要條件。這解決了長期的公開問題。通過Gorenstein 矩陣代數的導出範疇和奇點範疇得到雙邊無限 ladder. 提出用相對導出範疇進行範疇化奇點消解。
