泛包絡代數

在數學中，我們可以構造任意李代數 的泛包絡代數 。李代數一般並非結合代數，但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上，泛包絡代數可以解釋為李群上的左不變微分運算元。

基本介紹

• 中文名：泛包絡代數
• 外文名：universal enveloping algebra
• 所屬學科：李代數

定義

給定域K上代數，則的泛包絡代數為張量代數對理想I的商代數，其中理想I由下式生成

範疇論性質

泛包絡代數函子U為李代數函子L的左伴隨函子。

泛性質

以下固定域。首先注意到：對任意帶乘法單位元的 -結合代數 ，定義括積 ，可視 為李代數。

泛包絡代數系指帶單位元的結合代數 及一個指定的李代數同態 。這對資料由下述泛性質刻劃：

對任意帶乘法單位元的-結合代數， 若存在李代數同態

則存在唯一的代數同態

使之滿足

換言之，函子 滿足下述關係：

藉此，可視 為 （單位結合代數） （李代數）的左伴隨函子。

構造方式

首先考慮張量代數 ，此時有自然的包含映射 。取 為下列元素生成的雙邊理想

定義

所求的映射 為 與商映射的合成。容易驗證 保存李括積。

根據上述構造，可直接驗證所求的泛性質。

基本性質

若 可交換，則 亦然；此時 同構於多項式代數。

若 來自李群 ，則 可理解為 上的左不變微分運算元。

的中心 顯然包含 ，但不僅如此，通常還包括更高階的元素，例如喀希米爾元素；這種元素給出李群上的拉普拉斯運算元。

龐加萊-伯克霍夫-維特定理

主條目：龐加萊-伯克霍夫-維特定理(Poincaré-Birkoff-Witt)

龐加萊-伯克霍夫-維特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數 的基 ，此定理斷言

是 的基。此定理的直接推論是： 為單射，並且該內射可擴張為一個分次向量空間之間的同構：。

表示理論

在泛性質中取 ，其中 為任意向量空間，遂可等同 的表示與 的表示，後者不外是 模。藉此觀點，李代數表示理論可視為模論的一支。

群代數之於群表示一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有霍普夫代數結構。