叢代數的對稱性和分解

《叢代數的對稱性和分解》是依託陝西師範大學，由常文擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：叢代數的對稱性和分解
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：常文
• 依託單位：陝西師範大學

項目摘要

研究叢代數及相關幾何對象和範疇對象的對稱性和分解，分為以下三個方面：1. 研究格拉斯曼流形的對稱性和它的坐標環叢代數對稱性之間的關係，即基於格拉斯曼流形與其坐標環（不看做叢代數）之間的直接聯繫，找到一種自然的方式將坐標環叢代數的叢自同構群嵌入為格拉斯曼流形的自同構群的子群。2. 研究弗羅貝柳斯範疇的對稱性，通過利用關於2-CY三角範疇的對稱性和叢代數對稱性的已有結果，力圖證明對格拉斯曼流形的坐標環叢代數和有限型泛係數叢代數，它們的叢自同構群分別和範疇化它們的穩定2-CY 弗羅貝柳斯範疇的自同構群是同構的。3. 基於叢代數的分解，定義穩定2-CY弗羅貝柳斯範疇的分解，並建立它們分解之間的一一對應關係。進一步，對格拉斯曼流形的坐標環叢代數，定義以下三類分解：格拉斯曼流形的分解，定義弗羅貝柳斯範疇的矩陣代數的分解，以及刻畫坐標環組合結構的波斯特尼科夫構造的分解，然後建立上述分解間的關係。

結題摘要

到目前為止，本項目的研究內容和主要結論有以下四部分：1.研究了帶係數叢代數的分解和弗羅貝柳斯範疇的分解，基於叢代數的分解，定義了穩定2-CY弗羅貝柳斯範疇的分解，並建立了兩種分解之間的一一對應關係。該部分結果可以看作不帶係數叢代數的分解和對應的2-CY三角範疇分解之間類似關係的一種推廣，強化了叢代數和對應範疇之間的聯繫。2.研究了帶係數叢代數的擬對稱性，證明了對有限型叢代數和仿射型叢代數，其擬叢自同構群與其主部分叢代數的叢自同構群是同構的。該結論說明以上兩類帶係數叢代數的擬對稱性和其主部分叢代數的對稱性一樣多，進而具體地計算出了這些叢代數的擬自同構群。3.研究了格拉斯曼叢代數的帶勢箭圖，證明了它們是剛性的、具有唯一性，並且帶勢箭圖的突變和波斯特尼科夫圖的幾何變換是相容的，然後利用該結果證明了格拉斯曼叢代數的叢自同構群同構於其對應叢範疇的自等價群。注意到這裡的叢代數一般都不是無圈的，從而該結論說明叢代數的對稱性和叢範疇對稱性一樣多這個論斷具有一般性，不只是對無圈叢代數成立，為最終證實該論斷提供了新的支撐。4.研究了格拉斯曼叢代數和A型的量子仿射代數，定義了楊圖的特徵，將其實現為叢代數中的元素，特別地，以此實現了所有的叢單項式。通過以上刻畫，我們給出了量子仿射代數包絡代數的有限維模的非遞歸的q-特徵，從而建立了叢代數和量子仿射代數之間的關係。該研究建立了格拉斯曼叢代數和量子仿射代數包絡代數表示範疇之間的關係，為兩者的研究提供了新思路，使得我們可以利用其中一邊的性質研究和刻畫另外一邊的性質。