《叢代數、上同調理論與箭圖的拓撲結構》是依託浙江大學，由李方擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：叢代數、上同調理論與箭圖的拓撲結構
- 依託單位：浙江大學
- 項目負責人：李方
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
叢代數是近十年表示論新的重要方法，傾斜代數、上同調代數是代數表示論重要領域，它們的重要工具是箭圖。.本項目的關鍵是：把箭圖作為空間有向圖，構造它的路代數的一階上同調李代數的基；以及它成為傾斜箭圖時如何反映原代數和傾斜模的性質；研究此箭圖的mutation及作為叢箭圖時，它的叢代數及由此構造的叢範疇的性質，建立這些研究方面與此箭圖作為空間有向圖的虧格數的聯繫，從而把圖的拓撲結構轉化為相應的代數結構加以討論。用自然箭圖方法，給出新形式的Gabriel定理、BGP函子理論及其表示型分類方法，研究非Basic的阿丁代數的結構和表示。.分六方面研究：路代數和結合代數的微分運算元理論;具有potential的箭圖與Jacobian代數上的微分運算元與上同調;叢代數的mutation型和它的叢箭圖的拓撲刻劃;叢箭圖的傾斜箭圖與叢傾斜圖的關係;廣泛Mutation理論的建立;同構問題、上同調環的Hopf結構.
結題摘要
首先，在叢代數結構理論上取得重大進展，解決了2005 年著名數學家Fomin 和Zelevinsky 提出的關於符號斜對稱矩陣完全性問題的猜想，這對叢代數很重要。作為該結果的套用，解決了無圈符號斜對稱叢代數的正性猜想和F-多項式猜想，這些都是重要的進展。對叢代數及相關表示理論會有深入的影響。還建立了叢箭圖的拓撲理 論，並以此研究拓撲性質對代數結構的影響。 另一方面，對於Hopf 代數上的張量範疇的表示環，我們將這個方法從表示範疇延伸到了導出範疇，如同用一個高倍放大鏡，計畫以此建立新的系統方法來研究代數的表示。 主要研究內容包括：遺傳代數截面與切片及其傾斜圖與叢-傾斜圖間的關係；有限變換型的叢箭圖的虧格和曲面上的非平面叢箭圖：廣義矩陣代數的Gorenstein投射模及其套用；張量範疇背景下的表示環；容許代數的第一階Hochschild上同調；量子空間坐標代數A (n) q 上的Uq(sl(m+ 1))-模代數結構；Frobenius-型三角矩陣代數的表示；導出範疇和叢範疇之Auslander-Reiten箭圖的對偶保持性；幾何型叢代數的結構，包括子種子和種子同態以及Green 等價和剖分曲面； 符號斜對稱叢代數的展開理論以及在正性和F-多項式上的套用。 項目組成員還在典範雙模的同調性質與控制維數、對稱代數上生成子的自同態代數成為廣義對稱代數、Schur代數上的Doty余代數結構和控制維數等取得重要成果，在頂尖刊物上發表。還有成員解決了馴順型代數的模範疇的齊性的Crawley-Boevey猜想，已被國際頂尖刊物接受。
