卡西米爾不變數

在數學中，卡西米爾不變數，也稱卡西米爾元素，是李代數泛包絡代數中心的一個判別元素。一個典型的例子是平方角動量算符,這是一個三維卡西米爾元素旋轉組。1931年，Hendrik Casimir在剛體動力學描述中定義了卡西米爾不變數。

基本介紹

• 中文名：卡西米爾不變數
• 外文名：Casimir element
• 別名：卡西米爾元素
• 學科：數理科學

定義

卡西米爾不變數最簡單的定義是二次不變數。但是，也可能有卡西米爾不變數高階，這對應於高階齊次對稱多項式，下面給出了它們的定義。

二次卡西米爾元素

假設 是一個 維空間半單李代數。讓B是一個非簡併雙線性形式，這意味著，對 中所有的X,Y,Z，均有下式成立。

假設 表示 的任意基礎形式， 表示 關於 的雙重基礎形式。對卡西米爾不變數 的普遍包絡代數由下式給出：

雖然定義依賴於李代數的基礎，但很容易證明 的選擇獨立性。另一方面， 確實依賴於雙線性型B的不變性性，這意味著卡西米爾不變數與李代數 的所有元素，以及此通用包絡代數中心 。

卡西米爾不變的線性表示和光滑的行動

假定 在向量空間 中表示為 (可能是無限維的)，卡西米爾不變數 的定義是 ，由V上的線性運算元得出下屬公式：

屬性

獨特性

對於一個簡單的lie代數，每一個不變的雙線性形式是Killing形式的倍數，相應的Casimir元素被唯一地定義為一個常數。 對於一般半單李代數，不變雙線性形式的空間對於每個簡單分量都有一個基向量，因此對於相應的卡西米爾運算元的空間也是如此。

與G的拉普拉斯運算元

如果為帶有lie代數的李群，那么在上選擇一個不變的雙線性形式， 對應於上的一個雙不變黎曼度量。然後G上的左不變微分運算元在通用包絡代數的識別下，g的雙線性形式的卡西米爾不變數映射為G的拉普拉斯運算元。

特徵值

考慮到 中央在包絡代數，它作用於簡單模組由一個標量。讓 是任何雙線性對稱簡形式,我們定義 。讓 有限維最高重量模組的重量 。然後卡西米爾不變數 作用於 的常數，

此外，如果 ，那么上述常數是非零。然後 且 ，這表明 。這個觀察的證據起著重要的作用韋爾定理的完整還原性。