忠實函子

忠實函子(faithful functor)亦稱信守函子，是滿函子的對偶概念。設F：C→D為函子，若τ，σ∈Hom_C(A，B)，τ≠σ，必F(τ)≠F(σ)，則稱F為C到D的忠實函子。類似地可定義反變忠實函子。包含函子當然是忠實函子，嵌入函子也是忠實函子。

基本介紹

• 中文名：忠實函子
• 外文名：Faithful Functor
  Embedding Functor
• 所屬學科：範疇論
• 別名：信守函子、嵌入函子
• 相關概念：滿函子，恆等函子，具體範疇等

定義

定義1 設F:ℂ→𝔹為共變(反變)函子，若對任意的 以及任意的 ，在 時必有 ，則稱F為忠實函子(faithful functor)。否則稱F為不忠實函子，注意函子的忠實性是對態射而言的。

定義2 設F是由範疇ℂ到𝔹的函子，若對於ℂ的每對對象都能使到中的映射是單射，則稱F為忠實函子(faithful functor)。

性質

忠實函子與忠實函子的複合為忠實函子。

其他函子

定義3 設F是由範疇ℂ到𝔹的函子，若對於ℂ的每對對象都能使 到 中的映射 是滿射，則稱F為滿函子(full functor)。

例1(1)設𝔻是範疇 的子範疇，則𝔻到ℂ 的、使𝔻的每個對象A映射到(ℂ的)對象A，且使𝔻的每個態射f映射到(ℂ的)態射f的映射F作成一個由𝔻到ℂ 的單射函子(injection functor)。

(2)由群範疇Grp到集範疇Set的函子F：它是一個使群的對象類映射入群的基集，使群的同態射映入相應的映射的映射。

(3) 取任一單元環 ，則它具有兩種代數結構：加群 及單元半群 ，此外，一個環同態同時也是一個加群同態和一個單元半群同態，按照上述方法可得到由Ring到Ab的函子及由Ring到Mon的函子。

(4) 積範疇ℂ×𝔻到範疇ℂ中的射影函子(projectionfunctor)：它是將ℂ×𝔻的對象 映射到 的對象A，將 映射到 的映射 。

分析：(1)由範疇ℂ的子範疇𝔻到ℂ的單射函子是忠實函子；它是滿函子若且唯若𝔻是ℂ的滿子範疇。

(2)、(3)的由Grp到Set、由Ring到Ab及由Ring到Mon的函子都是忠實的，但卻不是滿函子。

(4)由ℂ×𝔻到ℂ的射影函子是滿的但卻不是忠實的。

如果 使 ，且 對任意的ℂ中態射成立，則F稱為恆等(單位)函子(identity functor)。容易看出，恆等函子是忠實函子。

相關概念

具體範疇

在範疇論的套用中，特別是在同調代數中，最感興趣的是所謂“具體範疇”(concrete category)。通常認為：若範疇 的對象都是集合，且態射首先是集映射，則 為具體範疇，對這種範疇 中任意的對象A，以 表示A的基礎集(即將A只看作集合)。於是

且 。容易看出， 也是一個共變的忠實函子。於是，更一般地，若有從範疇ℂ到 的忠實函子 ，則稱ℂ為一個具體範疇。

當具體範疇 的對象都具有某些結構時，比如拓撲群範疇 中的對象都有拓撲結構與群結構，上述的 起著“忘卻ℂ中對象的結構，只看作集合，態射也只看作集映射”的作用，特稱為底函子(forgetful functor)。有時，將忘卻部分結構的函子稱為部分忘卻函子，比如忘卻拓撲群的拓撲結構，只注意群結構，則得 到G的部分忘卻函子。

範疇生成子

範疇生成子(generator of a category)是範疇的一個特殊對象，範疇C中使 為忠實函子的對象A稱為它的一個生成子。換句話說，對任意的C中對象X，Y，若 ，且 ，則必有 使 ，這時就稱A為C的一個生成子。對偶地可定義上生成子的概念，即C中使 為忠實函子(即對上述的 ，必有 使 )的對象A稱為它的一個上生成子，A為C的上生成子等價於A為C的對偶範疇C°的生成子。