米田引理

在範疇論中，米田引理斷言一個對象X的性質由它所表示的函子 Hom(X,-)或Hom (-,X)決定。此引理得名於日本數學家暨計算機科學家米田信夫。

基本介紹

• 中文名：米田引理
• 分類：範疇論
• 領域：數理科學

陳述

設 為一範疇，定義兩個函子範疇如下：

並定義兩個函子：

其中 而 。

米田引理的抽象陳述如下：

米田引理：有自然的同構

這兩個同構對所有變元 都滿足函子性。

對任一對象 ，在上述同構中分別取 ，便得到米田引理最常見的形式：

推論：函子 與 是完全忠實的。

套用

由上述推論，範疇中的對象X由它所表示的函子或唯一確定（至多差一個同調），這是可表函子理論的根基所在。例如在代數幾何中，一個常見的技術是將概形等同於它所代表的函子，後者往往具有直觀的幾何詮釋，技術上亦較容易處理；另一方面，我們也往往從函子的觀點研究空間的商、極限或者是模空間問題，第一步是定義適當的“函子解”，其次再研究它可表與否。代數拓撲中的分類空間也是可表函子概念的體現。