可表函子

可表函子是在數學範疇論里的概念,指從任意範疇到集合範疇的一種特殊函子

這種函子將抽象的範疇表達成人們熟知的結構(即集合函式),從而使得對集合範疇的了解可以儘可能套用到其它環境中。

基本介紹

  • 中文名:可表函子
  • 外文名:Table functor
  • 概述:從任意範疇到集合範疇的特殊函子
  • 學科:數理科學
定義,泛元素,性質,唯一性,保極限性,左伴隨,

定義

設C 為局部小範疇,並記集合範疇為Set 。對 C 中的每個對象 A以Hom (A,-)指代將對象X 映到集合Hom (A,X) 的Hom函子
函子可表的當存在某個C中的對象A使得 F自然同構於Hom (A,X)。而滿足
為自然同構的對
則稱為 F的一個表示
從C到Set 的反變函子G不過是(協變)函子
,常被稱作預層。與協變的情況相似,預層是可表的當它自然同構與某個反變的Hom函子 Hom (-,A),其中 A是C 中的某個對象。

泛元素

根據米田引理,從Hom (-,A)到 F 的自然變換與集合
一一對應。給定自然變換
,與之對應的元素
給出。反之,給定元素
,可以如下定義自然變換
其中 f 是Hom (A,X)中的任意元素。為了得到 F 的表示,我們需要確定 u誘導的自然變換何時會是同構。這引導出如下定義:
函子
泛元素是由C中的對象 A與 F(A) 中的元素 u 組成的一對 (A,u),使得對於任意滿足
的對 (X,v),都存在唯一映射
使得
泛元素還可看作從單點集合
到函子{ F}的泛態射,又或者看作{ F}的元素範疇中的始對象

性質

唯一性

函子的表示在同構的意義下唯一。
換言之,如果
表示同一個函子,那么存在唯一的同構
使得
用泛元素的語言表述如下:如果
表示同一個函子,那么存在唯一的同構
使得

保極限性

可表函子自然同構於Hom函子,因而享有許多後者的性質。尤其值得注意的是,(協變)可表函子保持所有極限。由此可得,未能保持某些極限的函子都不是可表的。
相似地,反變可表函子把余極限映到極限。

左伴隨

如果函子
帶有左伴隨,那么它就可由
表示;這裡
是某個單元素集合,而
是伴隨的單位。
反之,如果
由對(A,u)表示,且 A 的任意上冪在
中都存在,那么
擁有左伴隨F,後者將任意集合 I映到 A 的I 次上冪。
所以,如果
是帶所有上冪的範疇,則函子
是可表的若且唯若它擁有左伴隨。

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