預層

預層(presheaf)一種與拓撲空間的開集族相聯繫的群與同態的族。

數學上，在給定拓撲空間X上的一個層（sheaf）（或譯束、捆）F對於X的每個開集給出一個集合或者一個更豐富的結構F(U)。這個結構F(U)和把開集限制（restricting）到更小的子集的操作相容，並且可以把小的開集粘起來得到更大的。一個預層（presheaf）和一個層相似，但它可能不可以粘起來。

基本介紹

• 中文名：預層
• 外文名：presheaf
• 定義：和一個層相似但可能不可以粘起來
• 所屬領域：拓撲學和範疇論
• 套用學科：數學
• 相關術語：層

定義

拓撲學

假設X為一個拓撲空間，而C是一個範疇（這經常是集合的範疇，交換群的範疇，交換環的範疇，或是一個固定的環上的模的範疇)。一個C中的對象在空間X上的預層（presheaf）由如下數據給出：

• 對於每個X中的開集，給定C中一個對象F（U）
  
• 對於每個開集之間的包含關係V⊂U，給定範疇C中的一個態射res_U,V:F(U) →F(V)。這稱為限制態射。該限制態射滿足以下兩點性質：
  
• 對於X中每個開集U，我們有res_U,U= id_F(U)，也即，從U到U的限制是F(U)上的恆等態射。
  
• 給定任何三個開集W⊂V⊂U，我們有res_V,W○ res_U,V= res_U,W,也即從U到V再到W的限制和從U直接到W的限制相同。
  

這個定義可以用範疇論的術語很自然的表達。首先我們定義X上的開集的範疇為範疇Top_X，其對象是X的開集而其態射為包含映射。Top_X就成了和X的開子集上的偏序⊂相關的範疇。一個X上的C預層就是從Top_X到C的反變函子。

若F是一個X上的C-值預層，而U是一個X的開子集，則F(U)稱為F在U上的截面。（這是因為和纖維叢的截面相似；參看下面的內容）。若C是一個具體範疇，則F(U)的每個元素稱為一個截面。F(U)也常記為Γ（U,F）。

範疇論

在數學的一支，範疇論中，範疇 C上的一V值預層 F是一函子。“預層”常常被定義為Set值預層。若 C是拓撲空間中所有開集構成的偏序集（作為範疇理解），那么我們就回到了拓撲空間上的預層的概念。

預層間的態射被定義為函子間的自然變換，這使得C上所有預層的蒐集構成了一個範疇。到的函子常被稱為Profunctor。

性質

（1）一個局部小範疇C可以通過米田嵌入完全且忠實地嵌入Set值預層，它將C的每個對象A送到態射函子 C(-,A)。

（2）預層（精確到範疇等價）是C的自由余極限完備化。