基本介紹
- 中文名：余代數
- 外文名：coalgebra
- 所屬學科：代數
- 性質：代數的對偶概念
- 產生方式1：對角映射
- 產生方式2：增廣
簡介,定義,代數,余代數研究背景,
簡介
余代數(coalgebra)是代數的對偶概念。
定義
余代數
代數
代數是數學的一個分支。傳統的代數用有字元 (變數) 的表達式進行算術運算，字元代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一個代數方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等於零來表示對變數所加的條件。如果只有一個變數，那么滿足這一方程式的將是一定數量的實數或複數——它的根。一個代數數是某一方程式的根。代數數的理論——伽羅瓦理論是數學中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois，1811-32)在21歲時死於決鬥中。他證明了不可能有解五次方程的代數公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍，三等分一個角)。多於一個變數的代數方程理論屬於代數幾何學，抽象代數學處理廣義的數學結構，它們與算術運算有類似之處。參見，如： 布爾代數(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩陣(MATRICES);四元數(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。這些結構以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特徵。特別重要的是結合律和交換律。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數學的各分支。
設K為一交換體. 把K上的向量空間E叫做K上的代數，或叫K-代數，如果賦以從E×E到E中的雙線性映射.換言之，賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數結構：
——記為加法的合成法則(x，y)↦x+y;
——記為乘法的第二個合成法則(x，y)↦xy;
——記為乘法的從K×E到E中的映射(α，x)↦αx，這是一個作用法則;
這三個法則滿足下列條件：
a) 賦以第一個和第三個法則，E則為K上的一個向量空間;
b) 對E的元素的任意三元組(x，y，z)，有
x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;
c)對K的任一元素偶(α，β)及對E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy)。
設A為一非空集合。 賦予從A到K中的全體映射之集ℱ(A，K)以如下三個法則：
則ℱ(A， K)是K上的代數， 自然地被稱為從A到K中的映射代數.當A=N時， 代數ℱ(A，K)叫做K的元素序列代數.
無論是在代數還是在分析中，代數結構都是最常見到的結構之一。十九世紀前半葉末，隨著哈密頓四元數理論的建立，非交換代數的研究已經開始. 在十九世紀下半葉，隨著M.S.李的工作，非結合代數出現了. 到二十世紀初，由於放棄實數體或複數體作為運算元域的限制，代數得到了重大擴展。
余代數研究背景
1907 年Wedderburn 對半單代數進行了研究，給出了著名的結構定理。1927 年Emil Artin 將Wedderburn 的研究結果推廣到了具有有限條件的環上( 升鏈條件、降鏈條件).之後Jacobson 又系統地研究了根論,得到了研究一般的結合代數的框架。考察某類代數W 的結構，先給一些特殊的子類U，取R∈W，考慮R 的理想
，滿足
。令
，可稱N 為R 的根，這樣R/N 可表示成U 中代數系統的亞直和。以上便是代數的經典的結構理論。
在表示方面，1958 年Morita 用投射生成子刻畫了兩個環上模範疇的等價理論，此理論後來被稱為模範疇間的Morita 等價理論。接著對表示理論的研究，得到了些表示論中的經典結果，一個有限維代數的模範疇與它的基代數的模範疇是等價的。Artin 代數的唯一分解定理成為考慮表示類型的基礎。Auslander 和Reitenl在”Artin 代數的表示理論”牛!給出了quiver 的概念、性質以及關於有限quiver 的路代數的定義和相關結論。P.Gabriel及其學派發展了quiver 的方法。P.Gabriel 通過Coxeter 函子實現了有限維遺傳代數的分類。余代數理論似乎可以由代數理論對偶得到，但由於其自身的特性，余代數的理論及其證明不能完全通過對偶方法獲得。
1975年Kaplansky證明了任何余代數C是(唯一的)不可分解子余代數的直和；且當C是余可換時，其不可分解分量是既約的。1977年，Takeuchi運用余張量積和cohom函子把代數上模範疇的Morita等價推廣成為余代數上余模範疇的Morita-Takeuchi等價。1995年SusanMontgomery證明了每個余代數C是link-不可分解余代數的直和，其直和加項對應於C的單余模的Extquiver的連通分量。1996年C.Nastasescu,B.Torrecillas和Y.H.Zhang研究了余代數的整體維數並且討論了整體維數小於或等於1的一類余代數。這一類余代數，包含所有的余半單余代數，稱為遺傳余代數。他們還給出了許多無限維遺傳余代數的例子。
1994年Nastasescu和Torrecillas給出了余冪等子余代數，局部化子余範疇以及余平坦態射的一些性質，並建立余代數的余冪等子余代數的集合與局部化子余範疇的集合之間的一一對應。1997年WilliamChin和SusanMontgomery引入基本余代數，證明了對任何余代數c，都存在一個結合基本余代數B，使得對於C的余模範疇等價於對於B的余模範疇。quiver的路余代數是一種特殊的余代數。W.Chin和S.MontgomeryCibils和Rosso進一步對有限的路代數深入研究並得到相關結論。同年，Chin和Montgomery 考慮了無限quiver的路余代數結
構,並研究了其性質。
在此基礎上，1998年Torrecillas通過定義局化雙模及完備局化雙模，建立了完備局部化雙模的等價類集合與余平坦單態射的同構類集合之間的一一對應，且給出了備局化雙模與Morita-Takeuchi等價的關係，以及關於余平坦單的其它性質。而余代數的余平坦單和代數的平坦滿對偶，在此基礎上，考慮並研究與余代數的余平坦單和代數平坦滿相關的性質以及討論這些性質。
