量子擬shuffle代數及其套用

《量子擬shuffle代數及其套用》是依託東莞理工學院，由簡潤強擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：量子擬shuffle代數及其套用
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：簡潤強
• 依託單位：東莞理工學院

項目摘要

擬shuffle代數是shuffle代數的自然推廣，作為一類重要的Hopf代數，在過去30年裡它得到了廣泛的研究，並且成為研究多重zeta函式，Rota-Baxter代數，交換tridendriform代數等的基本工具。在對量子shuffle代數作出一系列重要工作後，人們的下一個目標就是研究量子shuffle代數的推廣-量子擬shuffle代數。本項目的目的在於研究擬shuffle代數的量子化-量子擬shuffle代數的各種性質和套用，其中包括量子擬shuffle代數的生成元之間的代數關係和它的表示理論。作為套用，我們利用量子擬shuffle代數研究其他一些代數結構，包括Rota-Baxter代數，tridendriform代數以及它們的量子化，特別地，我們研究量子擬shuffle代數與多重q-zeta函式的關係，進而利用這些關係去研究多重q-zeta函式。

結題摘要

擬shuffle代數在多重zeta函式、Rota-Baxter代數、交換tridendriform代數等領域的研究當中扮演著重要的角色，量子擬shuffle代數是擬shuffle代數在辮子張量範疇中的自然推廣，本項目的主要目的是研究量子擬shuffle代數的各種性質及其套用。我們首先研究量子擬shuffle代數的代數結構：利用混合shuffle的概念，我們得到了量子擬shuffle乘積的具體公式，並給出了由量子擬shuffle雙代數的本原元生成的子代數的一個完整描述；我們構造了量子擬shuffle代數的對偶余代數結構，在交換辮子Rota-Baxter代數上建立了量子擬shuffle代數的表示； 我們引入廣義虛擬辮子群的概念，並利用它給出了量子擬shuffle乘積的一個刻畫。 另一方面，我們得到了量子擬shuffle代數的一些套用：利用量子擬shuffle代數構造Rota-Baxter代數和tridendriform代數，這些構造引出了關於辮子Rota-Baxter代數的研究；利用擬shuffle代數在Rota-Baxter代數上的表示，給出了多重q-zeta函式的一個新的詮釋；刻畫了Hopf雙模代數上的余張量余代數的Hopf代數結構，證明了它同構於其右余不變子空間的量子擬shuffle代數的波色化，由此構造出這個Hopf代數上的Rota-Baxter運算元。最後，基於以上的工作，我們開始了對量子代數與Rota-Baxter代數之間的關係的研究，我們構造了Hopf模代數上的冪等Rota-Baxter代數結構，並證明了量子群的正部具有這些結構。這些結果使得我們對量子擬shuffle代數、Rota-Baxter代數和多重q-zeta函式有了一個更好的理解，並且為進一步研究這些對象提供了有用的工具。