《自入射代數、McKay箭圖及相關課題》是依託湖南師範大學，由郭晉雲擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：自入射代數、McKay箭圖及相關課題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：郭晉雲
- 依託單位：湖南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
BGG對應和有限維代數導出範疇理論指出簇的凝聚層有界導出範疇、某個自入射代數的有限生成分次穩定範疇和有限整體維數代數的導出範疇三角等價。本項目繼續我們在這些等價激發的關於自入射代數的截斷、McKay箭圖的結構以及與回頭箭向相關的自入射代數和Artin-Schelter代數的擴張結構，研究相關代數的結構、表示及其同調問題，特別是與高維表示相關的問題的研究。我們將研究與回頭箭向相聯繫的代數的擴張並在一定條件下證明自入射代數平凡擴張表示維數升高1；並將對一些與McKay箭圖相關的一些代數研究下面的問題及其推廣：用McKay箭圖的覆蓋和回頭箭向的截斷刻畫Iyama的n-表示有限代數；推廣傾斜代數理論，刻畫自入射代數的截斷（τ-slice代數）的n-APR傾斜及其它傾斜理論；對某些高維McKay箭圖推廣建立根系和Kac定理；研究單連通代數Hochschild（上）同調的關係及其計算。
結題摘要
BGG對應建立了有凝聚層導出範疇與自入射代數穩定範疇的三角等價，通過傾斜理論，這往往亦等價於一個有限整體維數的有限維代數的導出範疇。近年代數表示論高維理論和非交換代數幾何的發展進一步揭示這一等價的本質，特別是高維表示理論提供了一批與其非交換版本導出等價有限維代數。近年在cluster代數和代數表示論高維理論研究中，及我們在McKay箭圖研究中，我們觀察到回頭箭向的現象，發現其出現往往伴隨代數的擴張及某種“維數”的增加。通過Koszul對偶，這一現象也與Artin-Schelter代數擴張構造相聯繫。 本項目在此背景之下研究非交換BGG對應相關中的自入射代數、有限整體維數的有限維代數及其與McKay箭圖、高維表示的聯繫。我們主要從n-平移代數、與Mckay箭圖及回頭箭向相關問題和一些代數結構的局部化、同調性質幾個方面進行研究，主要取得了如下成果。 通過引入n-平移箭圖和n-平移代數，推廣了經典的ZQ箭圖的構造並建立其與平凡擴張、沖積構造的關係。通過二次對偶建立了n平移代數Koszul復型與n-幾乎可裂序列的聯繫。套用n-平移代數，引入n-立方金字塔代數，並用其實現了Iyama絕對n完全代數的錐構造。建立了τ-slice代數τ-mutation與n-APR傾斜的聯繫。最近我們還發現n-平移代數擴張的τ-slice代數與n-Fanoo代數也有著密切聯繫。給出了一些與回頭箭向、McKay箭圖相關的擴張如平凡擴張和斜群代數的表示維數、複雜度。並將絕對n-完全代數與Abel群McKay箭圖的關係部分推廣到n-完全代數。還給出n-阿貝爾範疇的同調代數。給出了內射Hom-模的Baer準則，證明了HomMod是一個Abelian範疇；確定了Morita-Takeuchi余代數上所有Gorenstein內射余模及Gorenstein余代數的局部化。證明了極小無限表示型代數的單連通性的等價於其一階Hochschild上同調群為零，部分地解決了Skowronski的一個猜想。 我們的研究推進了代數表示論及相關領域研究的發展，特別是n-平移代數和回頭箭向、McKay箭圖的相關研究，深化了代數表示論高維表示理論及其與非交換代數幾何聯繫的認識，對於代數表示論及其高維表示理論的發展和代數表示論在非交換代數幾何和其他領域的套用，有著重要的意義。
