《路余代數上的雙代數結構和Artin代數的有限維數》是依託山東大學，由張愛平擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：路余代數上的雙代數結構和Artin代數的有限維數
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：張愛平
- 依託單位：山東大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
在Hopf代數理論中，箭圖Hopf代數的推廣問題一直是一個熱點問題。當一個箭圖的頂點集有群結構時，對應的路余代數上的Hopf代數結構，或等價的，群上的Hopf雙模結構已經研究清楚。作為推廣，路余代數上的雙代數結構與么半群及么半群上的雙代數雙模有一個一一對應。但關於么半群上的雙代數雙模，相關結論卻知之甚少。在本項目中，我們利用代數表示論的手段和某些特殊么半群的結構，將群上的Hopf雙模推廣到么半群上的雙代數雙模中去，從而對路余代數上的雙代數結構進行分類。. 在代數表示論中，有一個著名的猜想，即有限維數猜想。有限維數猜想有一個等價形式：設B為Artin代數A的子代數，radB為A的左理想，若A的有限維數有限，則B 的有限維數有限。因此，進一步研究Artin代數的子代數的模範疇及其同調性質，有利於探索和理解有限維數猜想。
結題摘要
投射模是同調代數的一個主要研究對象。作為投射模的推廣，Auslander,Bridger 和Enochs等介紹了Gorenstein投射模的概念。由於Gorenstein投射模在表示論和代數幾何中有廣泛的套用，所以受到了越來越多的關注。有限維數和整體維數是重要的同調不變數，其中前者還與著名的有限維數猜想相關。有限維數猜想是說任意Artin代數的有限維數是有限的，此猜想與很多其他的同調猜想密切相關，吸引了很多代數學者們的關注。有不少文獻討論過投射模的自同態代數的有限維數和整體維數，Gorenstein投射模是投射模的推廣，但對於Gorenstein投射模的自同態代數，相關結論卻知之甚少。在本項目中，我們首先研究了Artin代數A上的Gorenstein投射模的自同態代數的模範疇，證明了若A是2-syzygy有限的，則A上Gorenstein投射模的自同態代數也是2-syzygy有限的，從而有限維數是有限的。其次，在代數A為CM-finite的情況下，我們利用Gorenstein投射模M的一些同調性質，來刻畫M的自同態代數的有限維數和整體維數。然後，我們研究一對代數的有限維數之間的關係：設H為域k上的有限維弱Hopf代數，A/B為右忠實平坦的弱H-galois擴張。我們證明了若B的有限維數是有限的，則它不會超過A的有限維數。並且，假設H是半單的。若有限維數猜想成立，則A和B的有限維數是相等的。最後，為了推廣Hopf箭圖理論，我們介紹了一種新的正則半群，並且給出了它的次直積和織積結構。
