《導出等價及同調猜想》是依託武漢大學，由陳一萍擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：導出等價及同調猜想
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：陳一萍
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
導出範疇與導出等價在代數幾何、表示論、李代數、組合以及數學物理等多個領域裡有著十分廣泛的套用。不僅如此，它們還與群表示論中的中心問題Broué猜想緊密相關。它們是當前國際上十分活躍的課題。在導出等價中，一個基本的問題是：如何構造環之間的導出等價。我們在n-angulated範疇中構造了導出等價，給出了高維cluster理論與導出等價之間的聯繫。我們利用導出等價給出了一些滿足同調代數中著名猜想- - 有限維數猜想的代數類。本項目將繼續深化這些研究成果，並圍繞著導出等價以及有限維數猜想進行以下研究：1、在三角範疇中構造子環之間的導出等價。從已有的導出等價構造新的導出等價。2、找到新的導出等價下的不變數。3、給出tiled triangular環的有限維數估計式，利用導出等價繼續研究有限維數猜想。
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結題摘要
導出範疇與導出等價在代數幾何，代數和群表示論，非交換幾何里發揮著重大的作用。群表示理論中的核心猜想Broue猜想；非交換幾何中的鏡面對稱猜想，NCCR猜想等。本項目的主要任務在於導出等價的構造，以及利用導出等價去研究代數表示論里的重要猜想——有限維數猜想。在導出等價的研究中，一個比較困難的問題是：如何來構造導出等價？通過前期的理論發展，我們已經知道在加法範疇中具有逼近性質的序列可以給出一對環之間的導出等價。在本項目里，我首先研究了如果構造子環之間的導出等價，我的結果是在Abelian範疇中，任意一個短正合列都可以給出一對子環的導出範疇的三角等價；其次，在與他人的合作中，我考慮了導出等價與逼近，ghost的關係。我們的結果表述為加法範疇或是三角範疇中的一個逼近序列都可以提供商代數關於ghost理想之間的導出等價。這個結果覆蓋以往的一切結果，更為重要的是，它給出了導出等價與逼近序列之間的深層次的聯繫。即：在加法範疇中相應的ghost理想消失。在三角或是n角範疇中，考慮的商環恰好是關於ghost理想的商環。並且這樣的導出等價並不唯一。因此，這個結果給出了從序列構造導出等價的統一形式。另外，ghost理想在研究導出維數與表示維數中經常出現。這引導著我們去思考ghost理想與導出等價的聯繫。在整個項目中，我們也進一步考慮的與導出等價密切相關的奇異等價。兩者具體的關係是：導出等價一定是奇異等價。但是，奇異等價未必是導出等價。我們證明了：Support variety理論是由雙模誘導的奇異等價下的不變數。特別地，Support variety理論是Morita型穩定等價下的不變數。這個結果的意義在於：找到的奇異等價特別是Morita型穩定等價下的不變數，為判斷兩個代數是否奇異等價或是Morita型穩定等價提供了新的依據。我與他人合作證明了不可分解自入射代數是導出單代數。從而，自入射代數滿足滿足導出若當霍德定理。利用我們的結果，我們證明了Brauer，BMW，Partition三類代數是自入射的若且唯若它們是對稱的若且唯若它們是Frobenuis若且唯若它們的一個塊代數Morita等價與對稱群群代數或是對稱群的Hecke代數上的矩陣代數。從而，我們給出了這三類自入射代數的完整分類。
