《導出範疇的粘合和同調約化》是依託首都師範大學，由陳紅星擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：導出範疇的粘合和同調約化
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：陳紅星
- 依託單位：首都師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
三角範疇的粘合最早由Beilinson, Bernstein 和Deligne在研究奇異空間上perverse層的導出範疇時引入，被廣泛套用於數學的各個分支，如代數表示論、代數K-理論、代數拓撲、代數幾何等。特別地，導出範疇的粘合與代數表示論中的同調猜想、導出範疇的析層化、同調滿同態、Hochschild同調和循環同調、泛局部化、無限生成傾斜模、高階代數K-群等有聯繫。本項目將進一步完善導出模範疇粘合的構造理論、同調理論以及K-理論，並以此為基礎，通過約化的方法來研究環的同調不變數以及若干同調猜想，力求建立導出模範疇粘合下的同調不變數的估計公式、約化公式或長正合序列，進而探討相關環的同調性質。本項目將有助於推動廣義泛局部化、同調正合對、導出範疇的同調子範疇、導出單環、微分分次代數的K-理論、代數K-群和G-群的約化等新生課題在粘合框架下相互交叉。
結題摘要
三角範疇的粘合最早由Beilinson, Bernstein 和Deligne在研究奇異空間perverse層的導出範疇時引入，被廣泛套用於數學的各個分支，如代數表示論、代數K-理論、代數拓撲、代數幾何等。本項目利用導出範疇和三角範疇的粘合，從同調約化的角度來研究環的同調不變數和若干同調猜想，並在已建立的導出模範疇粘合的基礎上，探討相關環的同調性質. 重點圍繞導出範疇的粘合、同調正合context、非交換局部化、代數的同調維數（有限維數、控制維數、Gorenstein維數）、高階代數K-群等展開一系列的討論. 首次引入同調正合context和非交換張量積環的概念, 構造了一類新的導出模範疇的粘合. 非交換張量積環不但推廣了交換環上的張量積，而且覆蓋了環論中一些經典的構造，如：環的余積、trivially twisted 張量積、Milnor square、非交換局部化、平凡擴張等. 在導出模範疇粘合的框架下，研究環的同調維數或同調不變數. 一方面，探討了環的有限維數在導出範疇粘合下的變化情況. 給定由三個環的導出範疇構成的一個粘合，若其中兩個環的有限維數有限，那么可以給出第三個環的有限維數的上界，進而說明它的有限維數有限. 另一方面，探討了環的高階代數K-群在導出模範疇粘合下的可加性或正合性，並建立了同調正合context中相關環的高階代數K-群的Mayer-Vietoris無限長正合序列. 從導出範疇的角度理解Nakayama猜想和Gorenstein對稱猜想，探討了導出等價下代數控制維數的變化情況. 主要研究給定代數和它上傾斜模自同態代數的控制維數之間的聯繫，並探討自同態代數的導出等價和正交範疇的Gorenstein同調性質. 本項目的研究成果，將有助於理解或部分解決代數表示理論中若干同調猜想、促進三角範疇和導出模範疇的粘合在同調猜想證明中的套用.
