代數的Hochschild同調與同調維數

《代數的Hochschild同調與同調維數》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由韓陽擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：代數的Hochschild同調與同調維數
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：韓陽
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

本項目為非交換代數、非交換幾何、同調代數、符號計算的交叉領域。將採用譜序列、超復形塔、同調干擾、非交換Groebner基等方法，給出代數的Hochschild同調的一般表達式及一般算法，填補代數的Hochschild同調的通用計算方法的理論空白；通過完善代數的導出範疇的recollement理論，創建代數的模範疇的正合recollement理論，證明代數的（形式）光滑性為局部性質，推動非交換幾何的發展；通過對導出單代數進行導出等價分類的思想方法，澄清代數的Hochschild同調維數與整體維數兩個重要的同調不變數之間的本質關係；通過給出截面循環的同調刻畫，揭示代數的Hochschild同調維數及整體維數與代數Gabriel箭圖的組合特性之間的內在聯繫。既有新問題、新理論，又有新思想、新方法。在發展Hochschild同調自身理論的同時，促進同調代數、非交換幾何、非交換代數等相關領域的發展。

結題摘要

代數的（Hochschild）（上）同調為代數表示論與同調代數的研究主題之一。本項目在代數的導出範疇的recollement、代數的Hochschild（上）同調與整體維數、代數的Hochschild（上）同調與Gabriel箭圖的組合、代數的導出表示型、代數的穩定模範疇等方面取得進展。給出代數的導出範疇的recollement的張量積、反代數兩種構造方法，揭示了代數的導出範疇的recollement與代數的Hochschild維數、Hochschild上同調之間的關係；引入三角範疇的n-recollement及n-導出單代數的概念，揭示了代數的導出範疇的n-recollement與代數的Cartan行列式、同調光滑性、Gorenstein性之間的關係，將“Cartan行列式猜想”約化到1-導出單代數，將“Gorenstein對稱猜想”約化到2-導出單代數；給出導出離散n-導出單代數的分類，證明了導出離散代數的導出範疇的Jordan-Hoelder型定理。給出“Happel問題”及“Snashall-Solberg猜想”的更多反例；刻畫了群代數的Hochschild上同調代數的Batalin-Vilkovisky結構。給出單模投射維數的雙模刻畫，提供了“Strong no loop conjecture”的雙模方法，即“Igusa-Liu-Paquette定理”的簡潔證明；利用Gabriel箭圖中的平行路描述了Beilinson、Temperley-Lieb、tame Hecke、Fibonacci等代數的Hochschild上同調、Hochschild上同調環的cup積、Gerstenhaber括弧積、生成元及關係。引入了（代數）復形的（整體）上同調長度、（整體）上同調寬度、（整體）上同調幅度等數值同調不變數，證明了代數封閉域上有限維代數的有界導出範疇的第一、第二Brauer-Thrall型定理；證明了Artin代數的有界導出範疇的第一Brauer-Thrall型定理；揭示了代數的導出表示型與cleaving函子之間的關係。決定了表示有限自入射代數的穩定模範疇中的單純系統；證明了自入射代數的單純系統不能包含齊次模；指出Morita型穩定等價不同於導出等價——不保持代數的張量積與代數的平凡擴張，從而部分地解決了Rickard的一個公開問題。