《量子齊次空間上同調的非交換Hodge分解及形變意義》是依託揚州大學，由劉立宇擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：量子齊次空間上同調的非交換Hodge分解及形變意義
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：劉立宇
- 依託單位：揚州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬研究一類非交換代數——量子齊次空間的Hochschild上同調及其非交換Hodge分解，並研究其二階上同調群的各個Hodge分支的形變意義。人們已經證明了交換代數的Hochschild上同調具有所謂的Hodge分解，由此導出了幾類光滑概型的上同調的HKR分解。最近有不少學者致力於非交換Hodge理論。本項目研究量子齊次空間上同調的非交換Hodge分解。量子齊次空間是Hopf代數的右余理想子代數，通常是非交換的。申請人希望通過同調積分、形變等工具計算它們的Hochschild上同調，並引入適當的濾，使得導出的譜序列收斂到相應的上同調群。這樣的譜序列即可視為非交換Hodge分解。其中，我們特別關心二階上同調群的分解，因為二階上同調類一一對應了形變等價類。申請人希望通過研究，能夠類比交換情形，詳細解釋二階上同調群各個非交換Hodge分支對應的形變行為，並闡述它們的形變意義。
結題摘要
Hochschild上同調理論和形變理論是非交換幾何的重要成分，二者之間又有極為密切的聯繫。本項目以量子齊次空間為主要研究對象，考察其上同調的非交換Hodge分解以及相應的形變意義。具體地，我們首先利用Gerstenhaber-Schack復形等工具定義了代數扭預層的扭形變，證明了Gerstenhaber-Schack復形的二階上同調類一一對應於扭形變等價類，特別地，二階上同調的三個Hodge分支分別對應了扭形變的三個組成部分，即局部乘法、限制映射、扭元素。接下來定義了代數扭預層上的擬凝聚模範疇，證明了在幾何條件下該範疇是一個Grothendieck阿貝爾範疇；著眼於代數幾何，我們發現很多扭預層具有所謂的中心扭條件，因此，當代數扭預層滿足中心扭條件時，又定義了扭擬凝聚預層範疇，進一步證明了這個範疇與擬凝聚模範疇是阿貝爾等價的。我們還計算了射影超曲面的Hochschild上同調，根據超曲面的次數和射影空間的維數的不同大小關係，給出了任意階上同調群的表達式；刻畫了超曲面的二階上同調群的典範分解，描述了該分解與經典的HKR型分解的關聯；對於局部完備交證明了HKR定理的逆命題。最後，我們研究了二元多項式環上廣義Weyl代數的同調光滑性，通過它的定義多項式和它的兩個偏導數給出了廣義Weyl代數具有同調光滑性的充分必要條件，進一步利用定義自同構的雅可比行列式給出了廣義Weyl代數是Calabi-Yau代數的充要條件；將這一結論套用於幾個具體的量子群上，證明了相應的量子齊次空間都具有同調光滑性和斜Calabi-Yau性質。
