《Hochschild（上）同調及其在代數表示論中的套用》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由韓陽擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Hochschild（上）同調及其在代數表示論中的套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：韓陽
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目為同調代數、代數K-理論、（非交換）代數幾何、代數表示理論的交叉領域。將建立微分分次代數的Hattori-Stallings跡映射理論，並由此證明Extension conjecture對於有限維初等代數成立；將證明有限Hochschild同調維數為開性質，給出判斷代數的Hochschild同調維數有限的退化方法；將揭示monomial代數Hochschild上同調維數為零與Gabriel箭圖為樹、Hochschild上同調維數有限與整體維數有限之間的等價關係，後者表明Happel問題對於monomial代數是肯定的；將澄清Hochschild（上）同調與cleaving函子之間的關係，為比較代數的Hochschild（上）同調提供cleaving函子方法。
結題摘要
項目組全體成員分工合作在Hochschild（上）同調與代數表示方面取得系列學術成果。在Hochschild（上）同調方面：證明了微分分次代數與其Koszul對偶的Hochschild（上）同調同構，有限維對稱微分分次代數與其Koszul對偶的Hochschild 上同調作為Batalin-Vilkovisky代數同構，從而揭示了對稱微分分次代數與Calabi-Yau 微分分次代數的Hochschild上同調的Batalin-Vilkovisky代數結構之間的本質聯繫；引入了微分分次代數的Hochschild擴張，證明了其為A無窮代數，證明了正合Hochschild擴張均為對稱A無窮代數，平凡擴張的Koszul對偶為Koszul對偶的Calabi-Yau完備，正合Hochschild擴張的Koszul對偶為Koszul對偶的形變Calabi-Yau完備，從而揭示了正合Hochschild擴張與形變Calabi-Yau完備之間的Koszul對偶關係；引入了三角範疇的n-recollement，從而將代數的無界、上有界、下有界、有界導出範疇的recollement統一到代數的無界導出範疇的n-recollement的框架下，揭示了代數導出範疇的n-recollement與代數的Cartan行列式、同調光滑性、Gorenstein性之間的緊密聯繫，將Cartan行列式猜想約化至1-導出單代數，將Gorenstein對稱猜想約化至2-導出單代數，為證明這些猜想提供了新思路，為證明這些猜想對一些代數類成立提供了工具。在代數表示方面：引入了代數的整體上同調長度、寬度、跨度，給出導出有界代數、強導出無界代數定義，證明了導出Brauer-Thrall型定理I、II，這是經典Brauer-Thrall型定理I、II的導出版本；給出了對偶化範疇的張量積構造方法，證明了各種各樣的復形範疇有Auslander-Reiten序列；給出上三角冪零矩陣在上三角相似下的表示型分類；基於Belitskii典範形，給出計算線性動力系統等價類的維數的有效方法，提供了計算線性矩陣問題上的矩陣的共軛軌道維數與參數數的有效方法；利用量子超Schur-Weyl對偶，給出了Regev 公式的量子形式，構建了分圓Hecke代數與量子超代數之間的超Schur-Weyl對偶。
