非線性時滯系統

當前狀態的變化率不僅與當前時刻的狀態有關，而且也依賴於過去某時刻或某段時間的狀態，這種特性稱為時滯。

所謂非線性時滯系統，指的是系統的狀態與輸出變數在外部條件的影響下，不能用線性關係來描述的具有時滯特性系統。

基本介紹

• 中文名：非線性時滯系統
• 外文名：Nonlinear time-delay system
• 基礎：時滯系統、非線性系統
• 研究方向：鎮定性分析與跟蹤控制理論
• 分類：準非線性時滯、純非線性時滯
• 研究方法：相平面法等

基本概念

時滯系統

眾所周知，有許多實際的系統，譬如，通訊系統、電力系統、網路傳輸系統等，其當前狀態都不可避免地受到過去狀態的影響，即當前狀態的變化率不僅與當前時刻的狀態有關，而且也依賴於過去某時刻或某段時間的狀態。系統的這種特性稱為時滯，具有時滯的系統稱為時滯系統。在研究自然界客觀事物的運動規律時由於其複雜性和多樣性，總是不可避免地存在滯後現象.因此時滯與時滯系統是現實生活與工程技術中普遍遇到的一個實際問題。它起源於18世紀，在20世紀初期，伴隨著系統建模的發展而受到了廣泛的重視.在上世紀50和60年代就已經建立起了時滯系統的相關概念和基本理論，並被表達為各種不同的數學模型，現在主要採用泛函微分方程模型的形式。

時滯的存在，一方面使得系統的動態性能變差甚至導致系統不穩定。另一方面，在某些控制系統中人們又可以利用時滯改善控制效果，譬如在重複控制系統中以及有限時間穩定性控制等，都需要利用時滯來達到該目的。這樣為了更好地利用時滯來解決實際問題以及避免其不利後果，人們很有必要從理論角度分析與了解時滯對動態系統的影響。

非線性系統

所謂非線性系統，指的是系統的狀態與輸出變數在外部條件的影響下，不能用線性關係來描述的系統。系統受到的這種影響是相對於系統輸入的運動特性來說的。由於組成系統的各部件在不同程度上存在非線性的性質，因此在實際生活中，絕對線性的系統是不存在的。為了改善系統的這種非線性性以得到穩定的系統，需要通過設計控制器來研究系統的穩定性，由此產生了相平面法、描述函式法和諧波平衡法等。在過去的幾十年里，對於非線性系統的研究，產生的很多新興的控制理論中，普遍結合了李雅普諾夫穩定性理論，例如以Kokotovic為代表的反推控制理論(Backstepping ) ，以義大利Isidorii教授為代表發展起來的微分幾何控制理論，以Swaroop和Hedrick等人為代表基於反推控制理論發展起來的動態面控制設計方法，以Zade和Mamdani教授為代表發展起來的模糊數學和模糊控制理論。迄今為止，李雅普諾夫方法己經成為研究非線性系統最常用也是最為完善的一種方法，通過構造李雅普諾夫泛函、構造系統控制器來研究非線性系統的穩定性也己取得顯著成效。

研究背景和意義

非線性時滯系統的鎮定性分析與跟蹤控制理論是系統與控制理論的兩個重要的研究方向。因為的實際的系統或多或少的都存在著非線性，所謂的線性系統其實只是一種理想狀態，是非線性系統的一種接近。而作為非線性系統更一般的問題是非線性時滯系統.任何實際的問題都多少存在著一些時間延遲的現象，即系統的性能除了與系統當前狀態的狀態有關，還與系統過去某一段時間或者過去的某一時刻的狀態有關。這就是我們所說的時滯現象。實際的工業生產過程和自然社會科學中存在著大量的時滯現象。特別是電力系統、冶金工業過程、機械傳輸系統、網路控制系統及傳染病模型、潛伏期現象、以及城市交通管理系統中。這其中，有些系統中的時滯可能會很小，對系統本身的一些性能特性造成的影響不大，在研究這類問題時，我們就可以忽略時滯現象，僅考慮非線性控制系統。但是有些系統受時滯的影響比較大，而且這時系統不穩定也主要是因為時滯造成的。所以，對於這樣的系統，我們就不能忽略時滯現象了。

在實際的工業生產過程及自然社會科學現象中，時滯現象的存在是一個物理系統的固有特性，是不可避免的。主要有兩方面會使系統產生時滯現象。第一，由於系統的自身特性所產生的時滯現象，例如通信系統，機械傳動系統等都會產生時間滯後現象。第二，由於實際系統的裝置所引起的，例如控制器、測量元件、執行器在完成一系列操作時需要一定的時間，因此不可避免的會使系統產生時間延遲現象。時滯現象的存在會對系統產生不可忽略的影響，尤其是會影響系統的鎮定性。並且也可能會改變原先設計好的控制器的控制效果。但是，有時候人們也會在某個控制系統中故意引入時間延遲現象以達到某種效果。這樣研究如何消除和利用非線性時滯現象就具有很重要的意義和廣泛的研究背景和研究意義。

現實中常見的系統基本上都是非線性系統。線性系統只不過是一種理想狀態。在以前對這些系統的處理中，人們常常是忽略它的非線性性，直接將其看作是一個線性系統來研究。這時候是對實際控制的精度要求不高，而且控制系統本身也並不複雜。這樣也取得了很多優秀的研究成果。但是大量的研究表明，對於複雜的控制系統即使是微小的時滯都可能會使系統的性能改變很大。而且現在科學技術在不斷進步，被控對象也變得越來越複雜，於此同時，人們對各種控制系統以及機器的穩定性、精確度的要求也越來越高。如果，還是採用線性化的方法來處理系統，用線性系統的理論來研究其鎮定性，去分析和設計控制器，這樣就會很難達到預定的控制目標，並且所設計的反饋控制器很有可能根本就保證不了原系統的鎮定性。這主要是由於一個非線性系統一般不止是有一個平衡點，很多時候會有幾個平衡點，甚至也可能會有無窮多平衡點，而且這些平衡點還可能是孤立的。但是在對系統線性化後，我們就只是研究了其中得一個平衡點，所以這樣得到的鎮定性就不全面了，而只是局部的。尤其是當所研究的對象是一個複雜的非線性系統時，就更不能保證了。所以僅有對線性系統的研究是不夠的，需要對實際的非線性系統的模型入手，直接研究其鎮定性和反饋控制器的分析與設計。

現狀

近幾十年來，時滯系統的研究取得了許多成果，推動了時滯系統理論的極大發展。時滯系統的研究方法大致可以分為：時域方法和頻域方法。頻域方法是早期研究時滯系統穩定性的主要方法，主要是通過研究特徵方程根的分布，通過研究特徵方程的根是否在右半複平面來判別系統的穩定性，這種方法得到的結果一般是精確的，但是這種方法運算複雜，所以很難用於處理非線性時變時滯系統，因此該方法的使用受到了限制。而時域方法主要是通過套用Lyapunov穩定性理論，通過構造不同的Lyapunov-Krasovski泛函，而且時域方法可以處理非線性時變時滯系統，所以時域法成為處理時滯系統穩定性的主要方法.其中L-K泛函方法和L-R穩定性理論是研究非線性時滯系統的重要方法，其中L-R方法所得到的結果一般比L-K泛函方法得到的結果具有更大的保守性，但是L-K泛函得到的只是穩定性的充分條件。另外，還有反饋線性化、步步疊代、極限方法、Hamilton函式方法、描述系統方法以及非線性矩陣不等式等方法。對於一個系統，我們往往需要判斷的是這個系統是否是穩定的或漸近穩定的，所以穩定性一般是我們研究各類實際的動態系統時所應該首先要解決的問題。對於一個可控系統，我們需要設計合適的控制器使得原系統是穩定的或漸近穩定的。所以判斷所研究的系統是穩定的或漸近穩定的，是一個很有意義的問題。

分類

非線性時滯系統的研究近幾年來也正在引起研究者的關注。儘管這不是一個新的問題但是方程中的時滯項帶來的相當大的困難使得長期以來這方面的成果很少。我們可以將研究的非線性時滯系統分為兩類：準非線性時滯系統和純非線性時滯系統。所謂準非線性時滯系統是指線性時滯系統中含有非線性時滯項，且非線性時滯項一般要求滿足Lipschitz條件，或其界是一階線性函式。純非線性時滯系統是指一般的非線性時滯系統，即對非線性項的限制較弱或沒有限制。

研究方法

由於帶有時滯的非線性控制系統本身就比較複雜，因此，在研究起來也會比單純的非線性系統複雜的多，但是由於它具有非常重要的實際意義，所以，己經吸引了國內外許多學者對其進行研究。而且也取得了一些重要的研究成果。如果要對一個具體的控制系統進行研究，分析它的各種性能，那么首先要考慮的同時也是最重要的就是它的穩定性。對於一個控制系統來說，系統的穩定性關係到系統能否正常工作，其次就要考慮它的跟蹤控制問題。已經有許多學者對非線性時滯系統的鎮定性及跟蹤控制問題進行了比較深入的分析和探討，由於系統的鎮定性問題源於穩定性問題，在討論一個系統的穩定性問題時，如果同時考慮系統的反饋控制器的設計問題時，那么所得到的的穩定性問題就是鎮定性問題。下面我們就簡要介紹一下非線性時滯系統的穩定性以及跟蹤控制問題方面所取得的成果，和所提出的主要研究方法。

非線性系統的研究方法

研究者們很早就認識到在實際的系統中非線性的特徵是大量存在的。線上性系統的理論得到發展的同時研究者們也開始非線性系統了，但是由於科學發展的局限性和非線性系統的複雜性，儘管線性系統已經發展的很完善了，可是非線性系統的理論研究卻還需要進一步研究。近年來，由於微分幾何的提出與發展，非線性系統的控制理論也取得了實質性的發展。同時微分代數方法也促進了它的發展。在上世紀六七十年代，研究者們主要是通過對線性系統的研究來分析非線性系統。具體地說就是，結合非線性系統的結構特徵，直接將線性系統中所提出的一些概念和所得到的一些理論套用到非線性系統中，或是去掉非線性系統的非線性部分，將其轉化為線性系統來進行討論。這樣得到了一批優秀的研究成果。但由於許多的非線性系統都比較複雜，因此，僅僅只是利用線性系統中的研究方法是達不到理想的。所以，20世紀80年代後，各種綜合分析方法成為研究非線性系統的主流方法，特別是針對比較複雜的非線性控制系統。

非線性系統的經典研究方法，主要有相平面法、Lyapunov穩定性方法、輸入輸出穩定性方法、線性化近似法、描述函式法、分段線性化近似法、大系統方法等。這些都是在早期所得到的一些方法，主要也是針對特殊的非線性系統。隨著科學的發展，研究者們又提出了一些方法來研究非線性系統。主要有具有滑動模態的變結構法、控制Lyapunov函式方法、反饋線性化方法、混沌動力學方法、微分代數方法以及神經網路方法。

近年來，非線性控制問題得到了快速發展。除了上述的研究方法之外，還有一些研究方法也可以很好的解決非線性控制問題。比如基於狀態反饋的非線性H∞控制，非線性系統的頻域控制方法、以及非線性系統的近似控制方法等。近年來，結構奇異值#方法也開始用於分析與設計非線性系統。

時滯系統穩定性的研究方法

早在上世紀50年代，就有很多學者開始研究時滯系統的穩定性問題和控制問題，其研究方法有頻域法和時域法。在早期對時滯系統的穩定性研究方法主要還是頻域方法，它的基本思想是分析傳遞函式特徵方程中特徵根的分布，同時藉助於Lyapunov矩陣函式的解，從而給出時滯系統的穩定性判據和控制器設計的方法和準則。頻域方法對於單輸入輸出的定常時滯系統是比較可行的。但是，對於多輸入輸出的時滯系統和時變時滯系統，用頻域方法就很難得到結論。因此，相應的時域分析方法就應運而生，主要有Lyapunov - Krasovskii泛函方法和Razumikhin函式方法。這是在20世紀50年代末，由Krasovskii和Razumikhin所分別創造的，現已成為分析時滯系統穩定性的一般方法。利用這兩種方法，可以分別得到系統的時滯無關穩定性判據和相應的時滯相關穩定性判據。其中，Lyapunov - Krasovskii泛函方法的基本思想是構造一個正定的Lyapunov-Krasovskii泛函，然後對其求導，使其導數小於零，從而得到時滯系統的穩定性判據和控制器設計的基本準則。而Razumikhin函式方法是指先構造一個二次型Lyapunov函式，然後也對其求導，只是在求導時用Razumikhin引理來處理其中的時滯項，同樣也可以得到時滯系統的穩定性判據和控制器設計基本準則。在九十年代初及以前，用這兩種方法所得到的條件基本上都是時滯無關的，由於時滯無關條件不含時滯信息，因此，對於時滯比較小的系統，這類條件的保守性就比較大了，於是時滯相關條件就得到了發展。在九十年代末至至今的研究成果中基本都是時滯相關的。而且，由於構造Lyapunov泛函和Lyapunov函式的方法不統一，因此所得到的條件也只是一些一般解，並且解法也比較複雜。在20世紀九十年代，隨著Riccati方程和MATLAB中LMI(線性矩陣不等式)的發展，可以利用時滯相關或無關條件的解來反過來構造Lyapunov泛函和Lyapunov函式，進而研究時滯系統穩定性問題和控制問題。此後，湧現了一大批優秀的研究成果。