線性陣不等式被廣泛用來解決系統與控制中的一些問題，隨著求解線性矩陣不等式的內點法的提出、MATLAB 軟體中LMI 工具箱的推出，線性矩陣不等式這一工具越來越受到人們的關注和重視，套用線性矩陣不等式來解決系統和控制問題已成為一大研究熱點。
基本介紹
- 中文名：線性矩陣不等式
- 外文名：Linear Matrix Inequality
- 簡稱：LMI
- 特點：凸集，可用凸最佳化技術求解
- 套用領域：系統和控制領域
- 常用求解工具：Matlab LMI工具箱、YALMIP工具包
定義,線性矩陣不等式的發展,可轉化為線性矩陣不等式表示的問題,一些標準的線性矩陣不等式問題,在Matlab中解決LMI問題,套用,
定義
具有下列形式的矩陣不等式稱為線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)或嚴格線性矩陣不等式
其中，
是個實數變數，稱為線性矩陣不等式(1)的決策變數；
是決策變數構成的決策向量。
，
是給定的實對稱矩陣。
表示矩陣
是負定的，即對於任意的非零向量
有
，或者 的最大特徵值小於零。而若下列矩陣不等式的成立
則稱為非嚴格線性矩陣不等式。
線性矩陣不等式的發展
線性矩陣不等式的發展可以分為三個階段：
最早的動態系統分析的LMI 方法可以追溯到100 多年以前。1890 年Lyapunov 在他出版的被稱為Lyapunov 理論的著作中，提出了微分方程
LMI 發展的第二個里程碑是在二十世紀40 年代.當時，前蘇聯科學家Lur’e，Postnikov 及其他學者將Lyapunov 方法套用於控制工程中的一些經典問題，尤其是當執行機構具有非線性時滯時的穩定性，雖然他們沒有形成精確的矩陣不等式，但是所提出的穩定性準則具有LMI 的雛形。“Lyapunov 理論可以套用於控制工程中的重要問題” 這一新想法使Lur’e，Postnikov 等人受到啟發，將Lyapunov 理論套用於解決實際控制工程問題，解決LMI 問題的思想可以歸結於利用手工分析式的求解，當然其套用僅限於小系統。
LMI 發展的第三個里程碑是在二十世紀60 年代.Popov，Yakuovichl 及其它學者利用正實 (Positive Real-PR) 引理簡化Lur’e 問題，套用圖形原則進行求解，產生了Popov 判據.這種判據可以套用於高階系統，但不適合用於非線性系統。從LMI 的控制理論的發展觀點看，Yakuovichl，Popov 等人的貢獻在於給出了利用圖形方法解決LMI 問題。
70 年代，一些學者認識到LMI 問題不僅可以通過圖形方法獲得求解，而且可以通過求解代數Riccati 方程 (Algebraic Riccati Equation-ARE) 獲得求解。1971 年一些學者得到求解經典LMI 的方法，如圖形法以及Lyapunov 函式法.這些分析方法可以用於特殊形式的LMI 問題。
在LMI 歷史中最具實質性的階段是80 年代，這期間提出了多種LMI 標準問題的數值解法，主要的LMI 求解算法有替代凸投影算法，橢球算法及內點法。內點法又分為中心點法，投影法，原始-對偶法，這些方法的共同思路都是把LMI 問題看成凸最佳化問題處理。
1995 年MATLAB 推出了基於內點法的求解LMI 問題的LMI 工具箱，使得求解高維的LMI 成為可能.這種統一標準，統一解法的線性分析方法，設計規範的形式以及有效的數學計算工具包逐步研製成功，使得人們能夠更加方便和有效地處理，求解線性矩陣不等式，從而進一步推動了LMI 在系統和控制領域中的套用。
可轉化為線性矩陣不等式表示的問題
系統與控制中的許多問題初看想來不是一個線性矩陣不等式問題，但通過適當的處理可以轉換成一個線性矩陣不等式問題。下面給出一些典現例子。
1、多個線性矩陣不等式
表 示 一 個 線 性 矩 陣 不 等 式 系 統 。 引 進
，則 同時成立若且唯若 。所以，一個線性矩陣不等式可以用來描述整個線性矩陣不等式系統。
2、矩陣 Schur 補性質可將非線性矩陣不等式轉換成線性矩陣不等式問題。
對於矩陣
，把
分塊得：
其中
是
維的。設 非奇異，那么
叫做 在 內的Schur補。介紹矩陣的Schur 補性質。
(i)
；
(ii)
(iii)
3、S-procedure可以把非凸約束問題變換為LMI 約束問題。
對
，假定
為
上的實值泛函，針對下述條件：
易知通過條件
可以導出條件
。S-procedure在檢驗條件 的準確性後，再推測條件 是否成立。相比較，條件 比 容易判斷，所以，利用S-procedure能夠方便判斷條件 是否可行。
一些標準的線性矩陣不等式問題
2、特徵值問題（EVP）：以某線性矩陣不等式約束為基礎，解最小化
的最大特徵值問題，或者推出該約束為不可行的。它的一般形式是:
其可變換為下述問題，二者等價：
上式為特徵值問題求解器能解決的規範表示。其中，MATLAB LMI工具箱提供的相應的求解器為mincx。
3、 廣義特徵值問題（GEVP）：已知某線性矩陣不等式約束，解如何最小化二仿射矩陣函式的最大廣義特徵值。
已知維數相同對稱矩陣
、
，
為一個標量，若存在一個非零向量y ，滿足
，那么標量 叫作對稱矩陣 與 的廣義特徵值，求解
問題變換為針對線性矩陣不等式約束的最佳化分析：
其中，MATLAB LMI工具箱提供的相應的求解器為gevp。
在Matlab中解決LMI問題
在Matlab當中，我們可以採用圖形界面的lmiedit命令，來調用GUI接口，同樣可以採用程式的方式。
對於LMI Lab，其中有三種求解器（solver）：feasp，mincx和gevp。
每個求解器針對不同的問題：
feasp：解決可行性問題（feasibility problem），例如：A(x)<B(x)。
mincx：線上性矩陣不等式的限制下解決最小化問題（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制條件A(x) < B(x)下。
gevp：解決廣義特徵值最小化問題。例如：最小化lambda，在0<B(x),A(x)<lamba*B(x)限制條件下。
要解決一個LMI問題，首要的就是要把線性矩陣不等式表示出來。
對於以下類型的任意的LMI問題
N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M
其中X1, . . . , XK是結構已經事先確定的矩陣變數。左側和右側的外部因子（outer factors）N和M是給定的具有相同維數的矩陣。
左側和右側的內部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同結構的對稱塊矩陣。每一個塊由X1, . . . , XK以及它們的轉置組合而成形成的。
