線性系統是指同時滿足疊加性與均勻性（又稱為其次性）的系統。
奇異系統是一類由微分及代數方程綜合描述的系統，它在結構形式上比僅由純微分方程或差分方程描述的正則系統多了代數方程描述部分。奇異系統也被稱為流形上的微分代數系統、廣義系統、描述系統、廣義狀態空間系統或半狀態空間系統等等。
所以，線性奇異系統是指線性的奇異系統。
基本介紹
- 中文名：線性奇異系統
- 外文名：Linear singular system
- 類別：控制科學與工程
- 基礎：線性系統、奇異系統
- 提出時間：1962年
- 套用：自動控制理論、信號處理等
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基本概念
線性系統
線性系統是指同時滿足疊加性與均勻性（又稱為其次性）的系統。所謂疊加性是指當幾個輸入信號共同作用於系統時，總的輸出等於每個輸入單獨作用時產生的輸出之和；均勻性是指當輸入信號增大若干倍時，輸出也相應增大同樣的倍數。對於線性連續控制系統，可以用線性的微分方程來表示。不滿足疊加性和均勻性的系統即為非線性系統 。
系統控制理論和實踐被認為是20世紀對人類生產活動和社會生活產生重大影響的科學領域之一，而線性系統理論是系統控制理論的一個最為基礎和成熟的分支，在航空航天、電力能源、石油化工和通訊網路等領域都得到廣泛的套用。對於線性系統的研究，有狀態空間法、多變數頻域法、幾何理論、代數理論等多個不同的學派.其中代數方法的特點是將系統各組變數間的關係看作某些代數結構之間的映射關係，採用抽象代數工具表征和研究線性系統；幾何方法的特點是將線性系統的研究轉化為狀態空間中相應的幾何問題，採用幾何語言來加以描述、分析;頻域方法則採用頻率域的系統描述和頻率域的計算方法，或者通過把多輸入多輸出系統化為單輸入單輸出系統進行處理，或者通過多項式矩陣方法來研究傳遞函式矩陣，這種方法具有物理直觀性強等特點；狀態空間法線上性系統理論中形成最早，影響也最廣，它採用“狀態空間描述”來反映狀態變數和輸入、輸出變數之間的關係，套用線性代數和矩陣理論來分析系統。經過多年的研究和發展，線性系統理論己經形成一套完整的理論體系。
由於線性系統較容易處理，許多時候會將系統理想化或簡化為線性系統。線性系統常套用在自動控制理論、信號處理及電信上。像無線通訊訊號在介質中的傳播就可以用線性系統來模擬。
奇異系統
奇異系統(singular systems)是一類由微分及代數方程綜合描述的系統，它在結構形式上比僅由純微分方程或差分方程描述的正則系統多了代數方程描述部分。由於研究領域的不同，奇異系統又被不同領域的學者冠以不同的稱呼，例如廣義狀態空間系統、描述系統等等。由於奇異系統描述比正常系統多了代數方程描述部分(快變子系統)，因此，奇異系統的適用度比正常系統要廣泛得多。通過系統適當地變換，奇異系統也可以描述成正則系統，但是，許多原有系統的物理特性在變換後有可能會丟失。
最早的奇異系統模型是由學者Ardema在1962年通過研究太空飛行器的動力模型過程中提出的。後來，Rosenbrock在研究複雜的電網系統時，發現電網中某些部件突然失效，在失效的前後時刻有電流的瞬動現象產生，這種瞬間變化的現象不包括在常見正則系統描述之中，在經過大量的研究及實驗後，建立了電網系統的奇異模型。自此以後，廣大研究愛好者對奇異系統展開了廣泛地研究，並且獲得了許多非常有價值的理論成果。由於奇異系統適合於描述規模較大且非常複雜的系統，因此，自上世紀八十年代開始奇異系統被非常廣泛地用於奇異攝動系統、電子網路系統、決策系統、複雜大規模系統等各個領域。隨著廣大學者研究的不斷發展和深入，許多可以由奇異系統描述的實際系統不斷被發現。例如，受限機器人、紐曼模型、Leontief模型、非因果系統、核反應堆等均是典型的奇異系統。
目前，雖然大量的學者在奇異系統相關理論中取得了許多的理論研究成果，但是仍舊有不少的奇異系統理論分析與實際套用上的問題需要研究及解決。例如目前仍然沒有獲得時變奇異系統顯式解等，同時，仍有許多研究成果令人不太滿意，如時變時滯系統的穩定與鎮定等。
研究現狀
對於線性奇異系統，己有的一些線性時滯系統的結論也逐漸被專家和學者推廣到線性奇異時滯系統中來。
對於許多存在著時滯和不確定因素的線性奇異系統，20世紀90年代中期以來，許多學者致力於此方面的研究，得出一些有益的成果。
Lam針對具有結構化不確定性的奇異線性系統，通過研究參數矩陣的模數，得出了判定奇異系統魯棒穩定的充分條件。Zha.Tla針對具有非結構化不確定性的奇異線性系統，通過研究不確定性的上確界，度量奇異系統無脈衝解到有脈衝解的存在範圍，提出了不確定奇異系統魯棒脈衝解消除控制方法。針對具有參數不確定性以及狀態滯後的奇異系統，通過廣義的有界實引理理論，得出了判定奇異系統魯棒穩定與魯棒二次鎮定的充分條件。Fridman則採用矩陣分解的方法，研究了具有未知時滯的系統魯棒控制器的設計問題，得出了使設計的控制器保守性減小的方法。謝湘生等給出了時滯奇異系統反饋鎮定控制器設計的線性矩陣不等式方法。張先明等研究了線性時滯廣義系統的時滯相關穩定性問題，獲得了基於LMI的時滯相關穩定充分條件。王惠蛟、魯仁全等針對實際工程對象里奇異系統出現的參數不確定性項與時滯未知有界的狀態滯後項，提出了時滯依賴與時滯獨立的魯棒二次穩定與魯棒控制的充分條件。
值得一提的是，無論是連續時間奇異時滯系統，還是離散時間奇異時滯系統，上述有關奇異時滯系統的魯棒穩定條件，要么是針對固定時滯而言，要么是針對小於1的時滯而言的。而實際的工程套用問題中，時滯通常都是時變的，因而上面提到的這些理論結果很難套用到實際中。因此，非常有必要研究具有時變時滯的奇異系統的魯棒控制問題。
結構
線性奇異系統的基本結構如下圖所示。
線性奇異系統與正則系統的對比
線性奇異系統與正則系統的差異不僅是在形式上，本質上也相去甚遠，具體表現為以下幾點：
(1)線性奇異系統有兩類極點，除了有deg(det(sE一A)個有窮極點外，還有正則系統不具有的((n一deg(det(sE一A)))個無窮極點，這些無窮極點又可分為無窮動態極點和無窮態極點。而正則系統只有n個有窮極點。
(2)線性奇異系統的解通常由三部分組成：對應於有窮極點的指數解，對應於系統無窮極點的脈衝解和靜態解；而正則系統則只有指數解。
(3)線性奇異系統具有層次性，而正則系統的動態特性只有一個層次。即線性奇異系統具有由微分(差分)方程描述的系統的慢變的動態特性，以及由由代數方程描述的快變的靜態特性；而正則系統則只具有動態特性。
(4)對於一個n維的正則系統，它的自由度為n，等於系統的維數。而線性奇異系統的自由度為rankE，小於系統的維數。
(5)正則系統的傳遞函式矩陣為真有理分式矩陣，而線性奇異系統的傳遞函式矩陣不僅通常含有真有理分式矩陣，還含有指數大於1的多項式矩陣。
(6)在系統結構參數擾動下，正則系統可以有系統的結構穩定性，而線性奇異系統則通常不再具有結構穩定性。
(7)正則系統一般情況下滿足齊次初值問題解的存在唯一性，而線性奇異系統則不滿足。通過上面的討論，我們知道線性奇異系統的解的初值問題會出現有解存在、無解或有無窮多解的情形。而且其解會出現跳躍和脈衝，所以在通常的研究和控制器設計中，我們通常要求線性奇異系統是正則的。
(8)一般情況下，正則系統具有滿足Lyapunov意義下的魯棒穩定性和魯棒可鎮定性，而線性奇異系統則不一定滿足。
通過上面對線性奇異系統和正則系統的結構特徵的對比分析，我們可以得到結論：線性奇異系統是比正則系統更具有廣泛形式的動力學系統，它較之正則系統具有更加豐富的內涵，其在實際工程中的套用範圍也要廣闊得多，在電力系統、控制理論、經濟決策理論、奇異攝動理論等各個領域得到了廣泛的套用。
