奇異H∞控制

奇異系統是一類由微分及代數方程綜合描述的系統，它在結構形式上比僅由純微分方程或差分方程描述的正則系統多了代數方程描述部分。奇異系統也被稱為流形上的微分代數系統、廣義系統、描述系統、廣義狀態空間系統或半狀態空間系統等等。

對所有範數在某一定界限的擾動，系統都能將其抑制到最小。數學上可採用H∞空間來處理，故而這種方法稱為H∞最優控制。

奇異H∞控制是指基於奇異系統的H∞控制問題。

基本介紹

• 中文名：奇異H∞控制
• 外文名：Singular H - H-infinity control
• 類別：控制科學與 工程
• 基礎：奇異系統、H∞控制
• 提出時間： 1981年
• 提出人：Zames

基本概念

奇異系統

奇異系統(singular systems)是一類由微分及代數方程綜合描述的系統，它在結構形式上比僅由純微分方程或差分方程描述的正則系統多了代數方程描述部分。由於研究領域的不同，奇異系統又被不同領域的學者冠以不同的稱呼，例如廣義狀態空間系統、描述系統等等。由於奇異系統描述比正常系統多了代數方程描述部分(快變子系統)，因此，奇異系統的適用度比正常系統要廣泛得多。通過系統適當地變換，奇異系統也可以描述成正則系統，但是，許多原有系統的物理特性在變換後有可能會丟失。

最早的奇異系統模型是由學者Ardema在1962年通過研究太空飛行器的動力模型過程中提出的。後來，Rosenbrock在研究複雜的電網系統時，發現電網中某些部件突然失效，在失效的前後時刻有電流的瞬動現象產生，這種瞬間變化的現象不包括在常見正則系統描述之中，在經過大量的研究及實驗後，建立了電網系統的奇異模型。自此以後，廣大研究愛好者對奇異系統展開了廣泛地研究，並且獲得了許多非常有價值的理論成果。由於奇異系統適合於描述規模較大且非常複雜的系統，因此，自上世紀八十年代開始奇異系統被非常廣泛地用於奇異攝動系統、電子網路系統、決策系統、複雜大規模系統等各個領域。隨著廣大學者研究的不斷發展和深入，許多可以由奇異系統描述的實際系統不斷被發現。例如，受限機器人、紐曼模型、Leontief模型、非因果系統、核反應堆等均是典型的奇異系統。

目前，雖然大量的學者在奇異系統相關理論中取得了許多的理論研究成果，但是仍舊有不少的奇異系統理論分析與實際套用上的問題需要研究及解決。例如目前仍然沒有獲得時變奇異系統顯式解等，同時，仍有許多研究成果令人不太滿意，如時變時滯系統的穩定與鎮定等。

H∞控制

LQG最優控制理論在七十年代取得很大進展，其在航空航天方面取得的成就使之成為現代控制理論的代表。然而在實際工業生產中LQG理論並未達到其在航空航天方面的效果，其主要原因在於：

i)LQG理論要求模型能準確描述被控系統；

ii)LQG理論假設系統外部擾動為白噪聲。

這在實踐中是不可能的。此表明LQG最優控制就不確定系統魯棒問題而言不是有效方法。

在LQG理論形成之前，經典控制理論對單變數系統採用頻域方法處理魯棒性問題取得一定成果，但對多變數系統卻沒有統一處理方法。因此研究既具有經典控制理論魯棒問題處理能力同時又具有LQG多變數問題處理能力的方法，在七十年代末受到控制界人士廣泛注意。

Zames(1981)對單變數系統擾動抑制問題提出一種處理方法。外部擾動不再假設為白噪聲隨機過程，而是假設為範數有界的確定變數。其最優擾動抑制問題敘述為：對所有範數在某一定界限的擾動，系統都能將其抑制到最小。數學上可採用H∞空間來處理，故而這種方法稱為H∞最優控制。

克服了數學上一些困難後，這種思想就可推廣到多變數系統(Zames and Francis 1983)。隨後魯棒穩定問題亦採用這種思想：對所有範數在某一定界限的攝動，系統仍能保持穩定。這種對最壞情形設計控制器的方法，使閉環在任何情況下都不致不穩定，因而在實際生產中有著很大意義。

最近十年來，H∞控制理論得到很大發展。尤其是1989年Doyle等四人發表的文章((Doyle et al.1989)採用狀態空間方法求解H∞問題，不僅使H∞理論與LQG理論互為對照，而且提供H∞問題的有效數值解法，極大地促進了H∞理論的發展與套用。有限維線性系統之H∞理論可見評述(譚文，陳亞陵1994)。隨後的幾年裡，H∞控制理論在非線性系統、採樣系統等都得到不同程度的進展(Ball et al. 1993, Bamieh and Pearson 1992)。

研究現狀

1981年Zames首次提出了著名的H∞控制思想。Zames考慮了這樣一個單輸入單輸出的設計間題，即對於屬於一個有限能量集的干擾信號，設計一個控制器使閉環系統穩定且干擾對系統期望輸出影響最小。由於傳遞函式的H∞範數可以描述有限能量到輸出能量的最大增益，所以表示上述影響的傳遞函式H∞範數作為目標函式對系統進行最佳化設計，這就可使具有有限功率譜的干擾對系統期望輸出的影響最小。

H∞控制理論的研究主流可分為兩大階段。到1984年為止是第一階段。在此階段，人們更多的是考慮多變數系統，把在使控制系統內部穩定的控制器集合中尋找一個使傳遞函式矩陣的H∞範數最小的解的間題。通過穩定化的控制器的Yoular參數化變換成模型匹配或一般距離間題。然後再將其變換為Nehari間題來求解。到1988年為止是第二階段。在此階段，人們不採用輸入輸出傳遞函式矩陣的描述，而是直接在狀態空間上進行設計。此類方法不僅設計過程簡單，計算量小，而且所求的控制器的階次數較低，結果特徵明顯。這一階段的標誌是1988年Doyle和Glover等在全美控制年會上發表了著名的DGKF論文，文中給出了標準H2和H∞間題的狀態空間解法.證明了H∞控制間題的解可以通過求解兩個適當的Riccati方程得到。隨著常規系統H∞控制間題理論的完善，奇異系統H∞控制理論也得到了發展。Morihira和Takaba分別於1993和1994年用J譜分解法解奇異H∞控制問題，Wen和Yaling用廣義特徵值來解奇異H∞控制間題。這兩種方法都是在滿足一定的假設條件下，用廣義黎卡提方程給出控制器的解。1997年，Masubuchi等人提出了用兩個廣義黎卡提不等式來解決H∞控制間題，才從本質上克服了以上兩種假設條件所帶來的限制。國內有學者將奇異系統狀態反饋H∞控制問題等價於一個常規系統狀態反饋H∞控制問題，並用LMI方法給出了控制器的存在條件及解。目前，理論研究主要集中在進一步尋找行之有效的解法，使控制系統設計更加精確，更加實用，更加符合實際的需要。

奇異系統H∞最佳化問題

奇異系統同樣要考慮其魯棒性能。針對奇異系統的H∞性能最佳化問題，主要有三種方法:頻域方法，時域方法和微分對策方法。在頻域方面最早開展工作的是Oloomi和Luse等人。Oloomi解決了雙頻標(two-frequency-scale,TFS)系統的Nevanlinna-Pick插值問題，故而提供了另一種解決奇異攝動系統H∞最佳化問題的方法。同時，他還提出一種不僅適合最小相位系統，還適用於非最小相位系統的凡最佳化算法。與時域方法比較，頻域方法相對更直觀，而且可以得到一些較寬鬆的結論，但主要缺點是難以推廣至非線性奇異攝動系統。

在時域方面，Shahruz較早研究了線性奇異系統的H∞控制問題。該文指出，一個線性奇異系統的H∞控制問題可以分解為一個快子系統和另一個與慢子系統同階的子系統的凡問題。Fridman採用嚴格分解方法求得一種較高精度的H∞次優控制器。Mukaidani等採用遞歸算法求解廣義代數黎卡提方程，得到了形式上更為簡單的高精度控制器，且該方法同樣適用於非標準系統。Tan等則直接從廣義系統的角度出發，通過分解黎卡提方程，得出了與奇異參數無關的H∞次優控制器存在的條件，且輸出反饋控制器同樣具有奇異形式，其快、慢子部分分別是對應的快、慢子系統的H∞次優控制器。由於採用了廣義系統方法，該結論同樣適用於非標準奇異系統。

H∞控制問題與一類線性二次微分對策問題有著非常密切的聯繫，這為研究者提供了新的思路。由於通過早期的方法來處理由狀態、干擾和控制在慢子系統性能指標中構成的交叉項問題時存在比較大的困難，所以該問題一般是被忽略的。但是，微分對策方法具有數學上的直觀性與簡潔性，因此，它可以很容易地解決這個問題。Tong等首先提出用微分對策方法來研究奇異系統的坑控制問題。Dragan研究了對策黎卡提方程的漸近展開性質，並指出它們可以被用於奇異系統的凡控制。在此基礎上，他通過引入廣義Popov-Yakubovich理論，結合漸近展開方法較為深入地研究了奇異系統的傳遞函式矩陣的H∞範數對於奇異參數的依賴性。 Pan0等利用微分對策方法系統地研究了標準奇異系統H∞最優控制問題，並指出利用微分對策，可以很方便地統一考慮不同信息模式、有限/無限時域問題。在此基礎上，Xu等利用廣義系統方法將其推廣到非標準情形。Shi等進一步討論了具有參數不確定的系統魯棒控制，由於沒有採用常規的標準分解降階方法，而主要是利用有界實性質來確保了鎮定反饋控制器的存在性，所以不需要考慮過多前提假設，條件得到進一步放寬。Singh等在對策論框架下，利用Delta運算元，給出了可統一處理連續與離散奇異系統的控制器設計方法。