H∞最優控制

H∞最優控制

H∞最優控制,簡而言之,就是用H∞範數作為日標函式的度量邊行最佳化設計。H∞範數是定義在Hardy空間 上的範數,在H∞控制理論中是指在S右半平面上解析的有理函式陣的最大奇異值。

基本介紹

  • 中文名:H∞最優控制
  • 外文名:H-infinity optimal control
  • 學科:控制科學與工程
  • 創始人:Zame
  • 時間:1981年
  • 分類:最優控制和次優控制
基本概念,H∞控制問題描述,H∞最優控制方法的套用,魯棒穩定問題,二次穩定問題,

基本概念

H∞控制方法始於1981年,Zame把SISO線性反饋系統的靈敏度問題看作是H∞最小範數問題,並涉及了古典控制理論的一些基本問題,立即引起了人們的極大注意。後來,H∞範數延伸到更為一般的問題,特別是在考慮魯棒性問題時,它比其它方法更為直接。H∞控制的表示很簡單,但求解過程卻十分複雜。目前主要有頻域法、多項式法、狀態空間法。
H∞最優控制,簡而言之,就是用H∞範數作為日標函式的度量邊行最佳化設計。H∞範數是定義在Hardy空間
上的範數,在H∞控制理論中是指在S右半平面上解析的有理函式陣的最大奇異值。在標量函式中就是幅頻特性的極大值。因此,如果使系統干擾至誤差的傳遞函式的H∞範數最小的話,那么,具有有限功率譜的干擾對系統誤差的影響將會降到最低限度。這就是H∞最優控制的基本思想.

H∞控制問題描述

跟蹤問題、模型匹配問題,魯棒穩定問題、加權混合靈敏度問題等各種控制問題都可以化為如圖1所示的H∞標準問題。
H∞最優控制
其中:
G、k分別表示廣義受控對象和控制器;
W: l維外部輸入信號;
z: ρ維受控輸出;
u: n維控制信號;
y: m維量測輸出。
按w、z、u、y 的維數將G(s)分塊為:
H∞最優控制
H∞最優控制
H∞控制的標準問題是:
求一真實有理的K,使G穩定,並使由W到Z的傳遞函式矩陣:
H∞最優控制
的範數最小,即
H∞最優控制
或者:求所有真實有理的K,使G穩定,且使
H∞最優控制
前者稱為H∞最優控制問題,後者稱為H∞次優控制問題。

H∞最優控制方法的套用

魯棒穩定問題

具有非結構性加法攝動系統的魯棒穩定性問題可以歸結為H∞次最佳化問題。這首先是由木村提出的, 考慮如圖所示系統:
H∞最優控制
假設不確定性攝動△P滿足不等式
H∞最優控制
其中,R為已知有理函式陣。根據小增益理論系統穩定的充分條件是
H∞最優控制
故對於滿足△P不等式的所有攝動系統魯棒穩定的充分條件是
H∞最優控制
可以證明上式也是系統內部穩定的必要條件,魯棒控制器的設計就歸結為求滿足上式的H∞次優控制器。

二次穩定問題

在研究具有結構性時變攝動系統的穩定性時,一般採用二次穩定性定義。設系統描述如下
H∞最優控制
其中,r(t) 表示時變攝動。所謂二次穩分是僧存在李亞譜諾夫函式及α>0
H∞最優控制
使得下式成立。
H∞最優控制
假設系統可以表示為
H∞最優控制
上式範數定義為最大奇異值,Pctcrson等給出了該系統二次穩定的充要條件:
(1)A為穩定陣
(2)
H∞最優控制
因此,如果我們採用狀態反饋u=-Kx則由上述結果可知,使系統二次穩定的魯棒控制器K必須滿足以下兩個條件:
(1)A-BK穩定
(2)
H∞最優控制
故二次穩定問題就歸結為求滿足上式的H∞次優控制器。

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