標準H∞控制

H∞控制方法始於1981年，Zame把SISO線性反饋系統的靈敏度問題看作是H∞最小範數問題，並涉及了古典控制理論的一些基本問題，立即引起了人們的極大注意。目前主要有頻域法、多項式法、狀態空間法。

基本介紹

• 中文名：標準H∞控制
• 外文名：Standard H-infinity control                    
• 學科：控制科學與工程
• 創始人：Zame
• 時間：1981年
• 主要方法：頻域法、多項式法、狀態空間法。

基本概念

H∞控制方法始於1981年，Zame把SISO線性反饋系統的靈敏度問題看作是H∞最小範數問題，並涉及了古典控制理論的一些基本問題，立即引起了人們的極大注意。後來，H∞範數延伸到更為一般的問題，特別是在考慮魯棒性問題時，它比其它方法更為直接。H∞控制的表示很簡單，但求解過程卻十分複雜。目前主要有頻域法、多項式法、狀態空間法。

標準H∞控制問題描述

跟蹤問題、模型匹配問題，魯棒穩定問題、加權混合靈敏度問題等各種控制問題都可以化為如圖1所示的H∞標準問題。

圖1

其中：

G、k分別表示廣義受控對象和控制器；

W: l維外部輸入信號；

z: ρ維受控輸出；

u: n維控制信號；

y: m維量測輸出。

按w、z、u、y 的維數將G(s)分塊為：

有

H∞控制的標準問題是：

求一真實有理的K，使G穩定，並使由W到Z的傳遞函式矩陣：

的範數最小，即

或者：求所有真實有理的K，使G穩定，且使

前者稱為H∞最優控制問題，後者稱為H∞次優控制問題。

H∞控制問題的求解

H∞控制的表示很簡單，但求解過程卻十分複雜。目前主要有頻域法、多項式法、狀態空間法。

頻域法

通過把標準H∞控制問題化為模型匹配問題而求解。

由於若K能穩定G22，必定穩定G。所以將G22作左、右互質分解。

使G22穩定的參數化公式為：

利用K的參數化公式，將標準H∞控制問題化為模型匹配問題：

其中：

標量模型匹配問題的求解步驟：

（1）已知T1、T2∈ RH∞，將T2作內外分解 ，定義 。

（2）將R作穩定、反穩定分解，並求出反穩定部分的最小實現。

（3）解Lyapunov方程，求得能控性和能觀性克萊姆矩陣Lc、Lo。

（4）求LcLo的最大特徵值及相互的特徵向量W。

（5）定義f和g為：

（6）最後求得：

距離：α=λ

X和Q的最優解為：

多項式法（標準互質分解）

對於系統G，進行標準左互質分解：

求控制器K，使系統魯棒穩定的過程如下( 表示系統的穩定裕度)：

（1）使

（2）求解廣義控制代數Riccati方程和廣義濾波代數Riccati方程的半正定解X、Z。

（3）求出G的標準左互質分解：

（4）求

（5）中心控制器

其中

該方法的一個優點是不必重複最佳化，魯棒性指標ν可以直接求出。

狀態反饋H∞控制

前面敘述的幾種方法，儘管也用到了狀態空間描述,但都是為了計算的目的。這一部分直接利用廣義受控對象的狀態空間描述進行設計，計算和控制器描述。

設廣義受控對象的狀態空間實現為：

設廣義受控對象的狀態是可測的，假設〔 A、B2〕是能穩定的，即系統〔 A、B2、C1〕的不能控模態是漸穩定的。

定常狀態反饋H∞次優控制問題：

對於給定的常數γ<0,求一常數矩陣F，使得狀態反饋u=Fx，滿足SF條件： 且 漸近穩定。其中：

對於滿足上述假設及SF條件的狀態反饋矩陣F存在的充要條件為：

（1）

（2）代數Riccati方程

存在正定解P>0

H∞控制還有其它方法,如插值法、共軛法及對上述方法的改進和補充。

H∞控制的特點

H∞控制的特點如下：

（1）將控制系統設計中的性能指標表述為特定閉環傳遞函式矩陣H∞範數的形式，是解決系統不確定性的一種有效工具。

（2）克服了經典控制理論和現代控制理論的不足，將頻域概念和狀態空間法融合在一起。

（3）給出了魯棒控制系統的設計方法，不僅能保證控制系統的魯棒穩定性，而且能最佳化一些性能指標。

套用

H∞控制由於計算量大，控制器複雜，工程實現困難較大。但由於其具有較強的魯棒性，對於那些參數大範圍變化、模型動態不定及非線性嚴重的對象，特別適應，因而在飛行控制系統中得到了廣泛的套用。

H∞控制還用於機器人，帶彈簧的平板車、柔性擺的控制器設計。由於實際懷情況各不相同，在套用H∞方法時一般都需對H∞方法作改進和修正。