黎卡提方程(Riccati方程)

黎卡提方程

Riccati方程一般指本詞條

黎卡提方程是最簡單的一類非線性方程。形如y'=P(x)y2+Q(x)y+R(x)的方程稱為黎卡提方程。

基本介紹

  • 中文名:黎卡提方程
  • 外文名:Riccati equation
  • 適用範圍:數理科學
簡介,發展,套用,

簡介

黎卡提方程是最簡單的一類非線性方程。形如y'=P(x)y2+Q(x)y+R(x)的方程稱為黎卡提方程。
對其特例y'=-by2+cxα劉維爾(Liouville,J.)於1841年證明了:若且唯若
時,方程才能求得用初等函式及其積分所表示的通解。劉維爾的工作使得人們的注意力開始轉向微分方程解的定性研究、數值計算以及求近似解上。

發展

十七世紀,義大利數學家黎卡提提出如下方程:dy/dx=P(x)y2+Q(x)y+R(x),稱為黎卡提方程。
1841年法國數學家劉維爾證明了黎卡提(Riccati)方程一般沒有初等解法,但是很多實際問題與理論問題又迫切需要求得這個方程的解,這也使得這一方程成為世界著名難題。
黎卡提方程自從十七世紀黎卡提提出以來,歷經三百多年一直未有一般解法,雖然有眾多特例解法,但是都未能從根本上解決這個方程。

套用

無論在微分方程的經典理論或在近代科學的有關分支,黎卡提方程均有重要套用。

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