兩類二次矩陣方程的數值求解方法

主要研究來自於物理中質量一彈簧系統的一類單邊二次矩陣方程的數值求解問題和來自粒子轉移理論中的非對稱代數Riccati矩陣方程數值求解問題

基本介紹

• 中文名：兩類二次矩陣方程的數值求解方法
• 學位授予單位：湖南大學
• 學位級別：博士
• 學位授予年份：2011

【摘要】：二次矩陣方程在物理學、材料學、工程學、控制理論和科學計算等諸多領域有著廣泛而深刻的套用.對其解的存在性研究和相應的數值求解方法不但在理論上具有重要意義而且在實際套用中也非常有價值.尤其近十幾年隨著計算機的飛速發展,非線性矩陣方程的數值解在工程控制領域和計算數學領域都逐漸發展成為了一個非常熱門的課題.本文主要研究來自於物理中質量一彈簧系統的一類單邊二次矩陣方程的數值求解問題和來自粒子轉移理論中的非對稱代數Riccati矩陣方程數值求解問題. 在第2章,我們研究來自於質量-彈簧系統的一類單邊二次矩陣方程的數值求解問題.我們首先提出這一方程解存在的一個充分條件；其次根據方程係數矩陣的特點,我們提出一種保M-矩陣結構的加倍算法來計算方程的極端解；在適當的條件下,我們還證明該算法的單調收斂性和局部二次收斂性.我們的數值試驗說明我們提出的算法要優於帶精確線性搜尋的牛頓法和伯努利疊代法. 在第3章,我們研究用循環約化算法來求解過阻尼系統產生的單邊二次矩陣方程.與現有的二次收斂循環約化算法不同,我們提出一種三次收斂的循環約化算法.在過阻尼條件下我們證明所提出算法的適定性和收斂性.數值試驗表明該算法在方程接近於過阻尼系統的臨界狀態時將比原來的循環約化算法具有更快的收斂性. 在第4章,我們繼續研究循環約化算法的在臨界狀態過阻尼系統中的收斂性.Guo, Higham和Tisseur在假設臨界過阻尼系統中按絕對值大小順序排列的第n個特徵值的部分重數(partial multiplicity)為2的條件下證明了循環約化算法的線性收斂性,而且算法產生的某些矩陣序列收斂於零矩陣.我們首先給出一個例子說明當上述假設條件不滿足時,循環約化算法的收斂性與Guo等的收斂結論並不完全相同,即算法產生的相應的矩陣序列可以不收斂到零矩陣；其次在不需要對第n個的特徵值部分重數做任何假設的條件下,我們對一類臨界狀態過阻尼系統證明循環約化算法的收斂性；最後通過數值試驗驗證本文的收斂性結果. 在第5章,我們研究來自粒子轉移理論中的非對稱代數Riccati矩陣方程數值求解問題.我們重新考慮用牛頓法和不動點疊代法來求得這一方程具有物理意義的最小正解.通過注意到牛頓法子問題的特殊矩陣結構,我們基於分解的交替方向隱式(Factored Alternating Direction Implicit, FADI)疊代設計一種低記憶低複雜度的牛頓法.隨後我們進一步將這一思想拓展到不動點疊代方法的子問題從而提出了兩種低記憶低複雜度的不動點疊代法.同時我們還證明這些算法在疊代過程中係數矩陣特徵值和疊代點列所具有的良好性質.數值試驗表明我們提出的算法能非常有效的求得這一非對稱代數Riccati矩陣方程的最小正解.尤其在中等規模和大規模問題中,低記憶低複雜度的牛頓法要優於Bai等提出的NBGS算法和Bini等提出的快速牛頓法. 此博士論文得到了教育部重大項目(309023)和國家自然科學基金(11071087)的資助. 此博士論文用LATEX2ε軟體列印.

【關鍵字】：保結構加倍算法循環約化算法部分重數低記憶低複雜度疊代方法
【學位授予單位】：湖南大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2011
【分類號】：O241.6
【目錄】：

• 摘要5-7
  
• Abstract7-11
  
• 第1章 緒論11-21
  
• 1.1 概述11-15
  
• 1.1.1 單邊二次矩陣方程11-14
  
• 1.1.2 非對稱代數Riccati矩陣方程14-15
  
• 1.2 相關研究進展15-17
  
• 1.2.1 單邊二次矩陣方程的求解極其在二次特徵值問題中套用15-16
  
• 1.2.2 粒子轉移理論中非對稱代數Riccati矩陣方程的求解方法16-17
  
• 1.3 創新點及主要內容17-18
  
• 1.4 本文的各章節安排18-19
  
• 1.5 記號及基本概念、性質19-21
  
• 1.5.1 記號19
  
• 1.5.2 基本概念、性質19-21
  
• 第2章 求解阻尼系統中單邊二次矩陣方程的保M-矩陣結構加倍算法21-32
  
• 2.1 引言21-23
  
• 2.2 保M-矩陣結構加倍算法23-27
  
• 2.3 保M-矩陣結構加倍算法的局部收斂性27-29
  
• 2.4 數值試驗29-32
  
• 第3章 求解過阻尼系統中單邊二次矩陣方程的三次循環約化算法32-41
  
• 3.1 引言32-33
  
• 3.2 三次循環約化算法33-35
  
• 3.3 三次循環約化算法的適定性和收斂性35-38
  
• 3.4 數值試驗38-41
  
• 第4章 一類臨界狀態過阻尼系統循環約化算法的收斂性41-59
  
• 4.1 引言41-43
  
• 4.2 一類臨界狀態過阻尼系統循環約化算法的收斂性43-46
  
• 4.3 循環約化算法收斂性定理4.2.2的證明46-56
  
• 4.3.1 加倍算法47-49
  
• 4.3.2 矩陣V和W的結構49-54
  
• 4.3.3 定理4.2.2的證明54-56
  
• 4.4 數值試驗56-59
  
• 第5章 粒子轉移理論中一類非對稱代數Riccati矩陣方程的低記憶低複雜度疊代方法59-83
  
• 5.1 引言59-63
  
• 5.2 分解的交替方向隱式疊代方法63-64
  
• 5.3 低記憶低複雜度牛頓-FADI疊代方法64-67
  
• 5.4 低記憶低複雜度不動點-FADI疊代方法67-71
  
• 5.5 極端特徵值和最優ADI參數的計算方法71-72
  
• 5.6 記憶成本和計算複雜度72-73
  
• 5.7 疊代性質73-77
  
• 5.8 數值試驗77-83
  
• 結論83-85
  
• 參考文獻85-93
  
• 致謝93-94
  
• 附錄A 攻讀學位期間完成和發表的學術論文目錄94